Question

В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите тангенс угла между плоскостью ADA1 и плоскостью, проходящей через середины рёбер AD, A D1 и СС1.

Answer 1

Для решения этой задачи, нам потребуется следующая информация.

Угол между двумя плоскостями можно найти с помощью векторного произведения нормалей плоскостей. Нормали плоскостей ADA1 и плоскости, которая проходит через середины рёбер AD, AD1 и CC1, выражаются следующим образом:

Нормаль плоскости ADA1: n1 = AB x AD
Нормаль плоскости, проходящей через середины рёбер AD, AD1 и CC1: n2 = (0.5)(AD + AD1) x (0.5)(AD + CC1)

Теперь мы можем найти нормали плоскостей, представляя векторы AB, AD, AD1 и CC1 в виде координатных векторов. Для этого нам понадобится информация о координатах вершин куба ABCDA1B1C1D1.

Пусть координаты вершин куба ABCDA1B1C1D1 будут следующими:

A(0, 0, 0)
B(1, 0, 0)
C(1, 1, 0)
D(0, 1, 0)
A1(0, 0, 1)
B1(1, 0, 1)
C1(1, 1, 1)
D1(0, 1, 1)

Теперь мы можем выразить векторы AB, AD, AD1 и CC1:

AB = B - A = (1, 0, 0) - (0, 0, 0) = (1, 0, 0)
AD = D - A = (0, 1, 0) - (0, 0, 0) = (0, 1, 0)
AD1 = D1 - A = (0, 1, 1) - (0, 0, 0) = (0, 1, 1)
CC1 = C1 - C = (1, 1, 1) - (1, 1, 0) = (0, 0, 1)

Теперь вычислим нормали плоскостей:

n1 = AB x AD = (1, 0, 0) x (0, 1, 0) = (0, 0, 1)
n2 = (0.5)(AD + AD1) x (0.5)(AD + CC1) = (0.5)(0, 1, 0 + 0, 1, 1) x (0.5)(0, 1, 0 + 0, 0, 1) = (0.5)(0, 1, 1) x (0.5)(0, 1, 1) = (0, 0, 0)

Теперь посчитаем скалярное произведение нормалей:

n1 · n2 = 0*0 + 0*0 + 1*0 = 0

Далее, найдем модуль скалярного произведения нормалей:

|n1 · n2| = |0| = 0

И последним шагом, найдем тангенс угла между плоскостями:

tg(угол) = |n1 · n2| / (|n1| * |n2|) = 0 / (|n1| * |n2|) = 0

Таким образом, тангенс угла между плоскостью ADA1 и плоскостью, проходящей через середины рёбер AD, AD1 и CC1, равен 0.