Пятиугольник ABCDE - выпуклый ⇒ все диагонали (AC,AD,BD,BE,CE) лежат внутри пятиугольника. Периметр пятиугольника P = AB+BC+CD+DE+EA
ΔABC : AC < AB + BC ΔBCD : BD < BC + CD ΔCDE : CE < CD + DE ΔDEA : DA < EA + DE ΔABE : EB < AB + EA Сложить все пять неравенств : AC+BD+CE+DA+EB<2(AB+BC+CD+DE+EA) AC+BD+CE+DA+EB < 2P ⇒ Сумма диагоналей меньше двух периметров пятиугольника.
ΔAFB : AF + BF > AB ΔBGC : BG + GC > BC ΔCKD : CK + KD > CD ΔDTE : DT + TE > DE ΔEMA : EM + AM > EA Сложить все пять неравенств : (AF+GC)+(BF+EM)+(BG+KD)+(CK+TE)+(AM+DT)>AB+BC+CD+DE+EA ⇒ (AF+GC)+(BF+EM)+(BG+KD)+(CK+TE)+(AM+DT)>P
По условию АС:АВ=5:7 или АС=5АВ/7. Т.к. ВМ - медиана, значит АМ=СМ=АС/2. Согласно свойству медианы BM делит треугольник ABC на два равновеликих треугольника АВМ и СВМ: Sавм=Sсвм=Sавс/2. Т.к. АР- биссектриса, значит <ВАР=<САР. Согласно свойству биссектрисы АР делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон: АВ:АС=ВР:РС, АВ:5АВ/7=ВР:РС ВР:РС=7:5 или РС=5ВР/7. Тогда сторона ВС=ВР+РС=ВР+5ВР/7=12ВР/7 Аналогично и в треугольнике АВМ бисссектриса АК: АВ:АМ=ВК:КМ, АВ:АС/2=ВК:КМ, АВ:5АВ/14=ВК:КМ ВК:КМ=14:5 или КМ=5ВК/14. Тогда медиана ВМ=ВК+КМ=ВК+5ВК/14=19ВК/14. У треугольников АВМ и АКМ одинаковая высота, опущенная из А на сторону ВМ, а если два треугольника имеют одинаковые высоты, то отношение их площадей равно отношению длин оснований (сторон, на которые опущены эти высоты): Sавм:Sакм=ВМ:КМ=19ВК/14:5ВК/14=19:5 Sакм=5Sавм/19=5Sавс/38 Аналогично у треугольников АВС и АВР одинаковая высота, опущенная из А на сторону ВС, значит Sавс:Sавр=ВС:ВР=12ВР/7:ВР=12:7. Sавр=7Sавс/12. Находим площадь четырехугольника Sкрсм: Sкрсм=Sавс-Sавр-Sакм=Sавс-7Sавс/12-5Sавс/38=65Sавс/228. Отношение площади Sкрсм:Sавс=65Sавс/228:Sавс=65/228
P = AB+BC+CD+DE+EA
ΔABC : AC < AB + BC
ΔBCD : BD < BC + CD
ΔCDE : CE < CD + DE
ΔDEA : DA < EA + DE
ΔABE : EB < AB + EA
Сложить все пять неравенств :
AC+BD+CE+DA+EB<2(AB+BC+CD+DE+EA)
AC+BD+CE+DA+EB < 2P ⇒
Сумма диагоналей меньше двух периметров пятиугольника.
ΔAFB : AF + BF > AB
ΔBGC : BG + GC > BC
ΔCKD : CK + KD > CD
ΔDTE : DT + TE > DE
ΔEMA : EM + AM > EA
Сложить все пять неравенств :
(AF+GC)+(BF+EM)+(BG+KD)+(CK+TE)+(AM+DT)>AB+BC+CD+DE+EA ⇒
(AF+GC)+(BF+EM)+(BG+KD)+(CK+TE)+(AM+DT)>P
Добавить верное неравенство : FG+FM+GK+KT+MT > 0 ⇒
(AF+FG+GC)+(BF+FM+EM)+(BG+GK+KD)+(CK+KT+TE)+(AM+MT+DT)>P ⇒
AC + BE + BD + CE + AD > P ⇒
Сумма диагоналей больше периметра пятиугольника