1.Через вершину конуса под углом 45° к основания проведена плоскость, отсекающая четверть окружности основания. Высота конуса равна 10 см. Определите площадь сечения. 2. Крыша силосной башни имеет форму конуса. Высота крыши равна 2 м, диаметр башни равен 6 м. Сколько листов кровельного железа требуется для покрытия крыши, если лист имеет размеры 0,7 м x 1,4 м и на швы ушло 10% кровельного железа?
Сначала нам нужно определить радиус окружности основания конуса. Из условия задачи мы знаем, что плоскость, отсекающая четверть окружности основания, проходит через вершину конуса под углом 45° к основанию. Поэтому эта плоскость делит окружность пополам, и угол между плоскостью и плоскостью основания составляет 45°.
Разберемся с углами в треугольнике, образованном радиусом окружности и проведенным из вершины конуса. Известно, что угол между радиусом окружности и плоскостью основания равен 45°, поэтому угол в самом треугольнике, образованном радиусом и высотой конуса, также равен 45°.
Теперь мы можем использовать свойство прямоугольных треугольников, которое гласит, что в прямоугольном треугольнике с прямым углом и двумя катетами, длина гипотенузы равна корню из суммы квадратов длин катетов.
Таким образом, длина гипотенузы этого треугольника будет равна длине радиуса окружности основания. Для обозначений удобно называть радиус окружности основания "r". Используя это свойство, получаем:
r = высота конуса/котангенс угла = 10/котангенс 45°.
Значение котангенса 45° равно 1, поэтому мы можем просто подставить значение высоты в формулу и получить:
r = 10/1 = 10.
Теперь мы можем рассчитать площадь сечения конуса. Сечение конуса, проведенное плоскостью, является сектором окружности.
Площадь сектора можно вычислить с помощью формулы: площадь сектора = 0.25 * площадь окружности основания.
Площадь окружности можно вычислить по формуле: площадь окружности = Пи * радиус².
Подставляя значение радиуса, полученного ранее, в формулу, получим:
площадь окружности = Пи * 10².
Площадь сектора можно получить, умножив площадь окружности на 0.25:
площадь сектора = 0.25 * (Пи * 10²).
Упростим выражение:
площадь сектора = 0.25 * (100Пи).
Таким образом, мы получили площадь сечения конуса.
2. Перейдем к решению второй задачи.
Нам даны размеры крыши силосной башни - высота крыши равна 2 м, диаметр башни равен 6 м. Мы должны определить, сколько листов кровельного железа требуется для покрытия крыши.
Для начала найдем радиус окружности основания конуса. Радиус равен половине диаметра, поэтому радиус будет равен 6/2 = 3 м.
Так как кровельный железный лист имеет размеры 0,7 м x 1,4 м, нам необходимо узнать, сколько листов нужно для покрытия поверхности конуса.
Теперь рассчитаем площадь поверхности конуса. Площадь поверхности конуса можно вычислить с помощью формулы:
площадь поверхности = Пи * радиус * (радиус + образующая конуса).
Образующая конуса - это высота конуса. В данном случае она равна 2 м.
площадь поверхности = Пи * 3 * (3 + 2) = 5Пи * 3.
Однако на швы между листами уходит 10% материала. Это значит, что нам нужно учесть этот фактор при расчете количества листов.
Рассчитаем площадь одного листа кровельного железа:
площадь листа = 0,7 м * 1,4 м = 0,98 м².
Некоторый процент материала уходит на швы:
площадь швов = 0,1 * общая площадь поверхности.
Теперь рассчитаем общую площадь поверхности, учитывая площадь швов:
общая площадь поверхности = площадь поверхности + площадь швов.
Теперь мы можем рассчитать количество листов, учитывая общую площадь поверхности и площадь одного листа:
количество листов = общая площадь поверхности / площадь листа.
Учитывая все эти факторы, мы можем определить, сколько листов кровельного железа требуется для покрытия крыши силосной башни.
Сначала нам нужно определить радиус окружности основания конуса. Из условия задачи мы знаем, что плоскость, отсекающая четверть окружности основания, проходит через вершину конуса под углом 45° к основанию. Поэтому эта плоскость делит окружность пополам, и угол между плоскостью и плоскостью основания составляет 45°.
Разберемся с углами в треугольнике, образованном радиусом окружности и проведенным из вершины конуса. Известно, что угол между радиусом окружности и плоскостью основания равен 45°, поэтому угол в самом треугольнике, образованном радиусом и высотой конуса, также равен 45°.
Теперь мы можем использовать свойство прямоугольных треугольников, которое гласит, что в прямоугольном треугольнике с прямым углом и двумя катетами, длина гипотенузы равна корню из суммы квадратов длин катетов.
Таким образом, длина гипотенузы этого треугольника будет равна длине радиуса окружности основания. Для обозначений удобно называть радиус окружности основания "r". Используя это свойство, получаем:
r = высота конуса/котангенс угла = 10/котангенс 45°.
Значение котангенса 45° равно 1, поэтому мы можем просто подставить значение высоты в формулу и получить:
r = 10/1 = 10.
Теперь мы можем рассчитать площадь сечения конуса. Сечение конуса, проведенное плоскостью, является сектором окружности.
Площадь сектора можно вычислить с помощью формулы: площадь сектора = 0.25 * площадь окружности основания.
Площадь окружности можно вычислить по формуле: площадь окружности = Пи * радиус².
Подставляя значение радиуса, полученного ранее, в формулу, получим:
площадь окружности = Пи * 10².
Площадь сектора можно получить, умножив площадь окружности на 0.25:
площадь сектора = 0.25 * (Пи * 10²).
Упростим выражение:
площадь сектора = 0.25 * (100Пи).
Таким образом, мы получили площадь сечения конуса.
2. Перейдем к решению второй задачи.
Нам даны размеры крыши силосной башни - высота крыши равна 2 м, диаметр башни равен 6 м. Мы должны определить, сколько листов кровельного железа требуется для покрытия крыши.
Для начала найдем радиус окружности основания конуса. Радиус равен половине диаметра, поэтому радиус будет равен 6/2 = 3 м.
Так как кровельный железный лист имеет размеры 0,7 м x 1,4 м, нам необходимо узнать, сколько листов нужно для покрытия поверхности конуса.
Теперь рассчитаем площадь поверхности конуса. Площадь поверхности конуса можно вычислить с помощью формулы:
площадь поверхности = Пи * радиус * (радиус + образующая конуса).
Образующая конуса - это высота конуса. В данном случае она равна 2 м.
площадь поверхности = Пи * 3 * (3 + 2) = 5Пи * 3.
Однако на швы между листами уходит 10% материала. Это значит, что нам нужно учесть этот фактор при расчете количества листов.
Рассчитаем площадь одного листа кровельного железа:
площадь листа = 0,7 м * 1,4 м = 0,98 м².
Некоторый процент материала уходит на швы:
площадь швов = 0,1 * общая площадь поверхности.
Теперь рассчитаем общую площадь поверхности, учитывая площадь швов:
общая площадь поверхности = площадь поверхности + площадь швов.
Теперь мы можем рассчитать количество листов, учитывая общую площадь поверхности и площадь одного листа:
количество листов = общая площадь поверхности / площадь листа.
Учитывая все эти факторы, мы можем определить, сколько листов кровельного железа требуется для покрытия крыши силосной башни.