Question

Радиус окружности, вписанной в правильный многоугольник, равен 5 см, а сторона многоугольника – 10 см. Найдите: 1) радиус окружности, описанной около многоугольника; 2) количество сторон многоугольника.

Answer 1

Хорошо, давайте разберем этот вопрос шаг за шагом.

1) Чтобы найти радиус окружности, описанной около многоугольника, мы можем использовать следующую формулу:

R = a / (2*sin(π/n)),

где R - радиус описанной окружности, a - сторона многоугольника, n - количество сторон многоугольника.

В нашем случае, мы знаем, что сторона многоугольника a = 10 см. Поскольку многоугольник правильный, количество сторон n также определяет количество вершин и углов многоугольника.

Сначала нам нужно найти угол α, который задается формулой:

α = (2π)/(2n) = π/n.

В нашем случае, радиус вписанной окружности r = 5 см. Зная, что радиус окружности вписанной в многоугольник равен половине стороны секущего апофемы (h), мы можем использовать следующее соотношение:

r = (a/2) * tan(α/2) = (10/2) * tan(π/(2n)).

Подставляя значения, получаем:

5 = 5 * tan(π/(2n)).

Теперь мы можем решить это уравнение относительно n:

tan(π/(2n)) = 1.

Решим это уравнение относительно π/(2n):

π/(2n) = arctan(1) = π/4.

Теперь мы можем решить это уравнение относительно n:

1/(2n) = 1/4.

Разделим обе части на 1/4:

(1/2n) / (1/4) = 1.

Инвертируем и меняем знак деления:

(1/2n) * (4/1) = 1.

Упростим выражение:

(4/2n) = 1,

(2/2n) = 1/2.

Упростим дробь:

1/n = 1/2,

n = 2.

Таким образом, количество сторон многоугольника равно 2.

2) Теперь, когда мы нашли количество сторон многоугольника, мы можем найти радиус окружности, описанной около многоугольника, используя формулу:

R = a / (2*sin(π/n)) = 10 / (2*sin(π/2)) = 10 / 2 = 5.

Таким образом, радиус окружности, описанной около многоугольника, также равен 5 см.

В итоге, ответы на ваши вопросы: 1) радиус окружности, описанной около многоугольника, равен 5 см; 2) количество сторон многоугольника равно 2.