Периметр треугольника ABC равен 18 см Сторона AC = 6 см BC = 5 см. известно что AB равно CD. Угол а равен 60°, угол BAH равен 120° 1) докажите что треугольник ABC равен треугольнику DCА 2) найдите длины сторон DCА
Уравнение прямой АС: Применяем основное свойство пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних. 2(х+2)=13(у-3) 2х+4=13у-39 2х-13у+43=0 - уравнение прямой АС
Нормальный вектор этой прямой имеет координаты (2;-13) Уравнение прямой BD запишем в общем виде: ax+by+c=0 Нормальный вектор прямой BD имеет координаты (a;b) Нормальные векторы прямых АС и BD ортогональны, так как прямые ортогональны. Скалярное произведение таких векторов равно 0 Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами равно сумме произведений одноименных координат 2a-13b=0 Нетрудно догадаться, что достаточно взять а=13; b=2 Чтобы найти с подставим координаты точки В в уравнение прямой BD 13x+2y+c=0 В(4:7) x=4 у=713·4+2·7+с=0 ⇒ с=-66
Уравнение прямой BD : 13x+2y-66=0
Применяем уравнение прямой в виде у=kx+b -уравнение прямой с угловым коэффициентом k
Запишем уравнение прямой АС в виде у=kx+b Чтобы найти k и b подставим координаты точек А(-2;3) х=-2 у=3 С(11;5) х=11 у=5 в уравнение у =kx+b
Получим систему двух уравнений 3=-2k+b 5=11k+b
Вычитаем из первого уравнения второе -2=-13k⇒ k=2/13 b=3+2k=3+(4/13)=43/13
Уравнение прямой АС : у = (2/13)x+ (43/13) и Угловые коэффициенты взаимно перпендикулярных прямых при умножении равны (-1) Угловой коэффициент прямой BD равен (-13/2)
Уравнение BD также пишем в виде у=kx+b Угловой коэффициент k =(-13/2) у=(-13/2)х+b
Чтобы найти b подставим координаты точки В в это уравнение В(4;7) х=4 у=7
7=(-13/2)·4+ b ⇒ b=7+26=33 Уравнение прямой BD y=(-13/2)x+ 33
Центр О окружности лежит на перпендикуляре, проведенном к середине отрезка MN. Обозначим: - точку касания окружностью стороны АВ точкой К, - точки пересечения осью окружности, перпендикулярной стороне АС, со стороной АС за точку Р, со стороной АВ за точку Е, - отрезок ОР за х, - отрезок РЕ за в. Так как окружность проходит через точки М и К, то МО и КО как радиусы равны. Из треугольников ОМР и ОКЕ составим уравнение: Возведём в квадрат и получаем квадратное уравнение: (1 - cos²A)*x²-2bcos²A*x+(13.5²-b²cos²А) = 0. Значение в находим: в = 22,5*tgA = 22.5*((1-cos²A)/cosA) = 5,809475. Подставив значения в и cosA, получаем: 0,0625х² - 10,892766х + 150,609375 = 0. Отсюда х₁ = 15,1421, х₂ = 159,142 - этот корень отбрасываем, так как точка К выходит за пределы треугольника АВС. Тогда радиус равен: R=√(13.5² + x²) = √(13.5²+15.1421²) = 20,286281.
Применяем основное свойство пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних.
2(х+2)=13(у-3)
2х+4=13у-39
2х-13у+43=0 - уравнение прямой АС
Нормальный вектор этой прямой имеет координаты (2;-13)
Уравнение прямой BD запишем в общем виде:
ax+by+c=0
Нормальный вектор прямой BD имеет координаты (a;b)
Нормальные векторы прямых АС и BD ортогональны, так как прямые ортогональны.
Скалярное произведение таких векторов равно 0
Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами равно сумме произведений одноименных координат
2a-13b=0
Нетрудно догадаться, что достаточно взять а=13; b=2
Чтобы найти с подставим координаты точки В в уравнение прямой BD
13x+2y+c=0
В(4:7) x=4 у=713·4+2·7+с=0 ⇒ с=-66
Уравнение прямой BD : 13x+2y-66=0
Применяем уравнение прямой в виде у=kx+b
-уравнение прямой с угловым коэффициентом k
Запишем уравнение прямой АС в виде
у=kx+b
Чтобы найти k и b подставим координаты точек
А(-2;3) х=-2 у=3
С(11;5) х=11 у=5
в уравнение у =kx+b
Получим систему двух уравнений
3=-2k+b
5=11k+b
Вычитаем из первого уравнения второе -2=-13k⇒ k=2/13
b=3+2k=3+(4/13)=43/13
Уравнение прямой АС : у = (2/13)x+ (43/13)
и
Угловые коэффициенты взаимно перпендикулярных прямых при умножении равны (-1)
Угловой коэффициент прямой BD равен (-13/2)
Уравнение BD также пишем в виде
у=kx+b
Угловой коэффициент k =(-13/2)
у=(-13/2)х+b
Чтобы найти b подставим координаты точки В в это уравнение
В(4;7) х=4 у=7
7=(-13/2)·4+ b ⇒ b=7+26=33
Уравнение прямой BD
y=(-13/2)x+ 33