Если диагонали трапеции АВСД перпендикулярны друг другу и пересекаются в точке Е, то треугольники АЕД и ВЕС подобны друг другу и имеют острые углы в 45°.
АЕ = АД*cos 45° = 9√2*(1/√2) = 9. EC = BC*cos 45° = 3√2*(1/√2) = 3. Диагонали АС и ВД равны друг другу по свойству вписанной трапеции. АС = ВД = 9 + 3 = 12. Они образуют 2 треугольника, вписанных в ту же окружность, что и трапеция. Поэтому радиус окружности, описанной около трапеции находим по формуле радиуса окружности. описанной около треугольника. R = abc/(4S). Боковую сторону находим по теореме косинусов: СД = √(АС²+АД²-2*АС*АД*cos45°) = √(162+144-216) = √90 = = 9.486833. Площадь треугольника АСД находим по формуле Герона: S √(p(p-a)(p-b)(p-c). Полупериметр р = (а+в+с)/2 = 17.107378. Тогда S = 54. Детали этого треугольника: a b c p 2p S 9.486833 12.727922 12 17.107378 34.21475504 54 x=р-а y=р-в z=р-с x*y*z p*x*y*z 7.620545 4.379456 5.107378 170.45278 2916 cos A = 0.707107 cos B = 0.316228 cos С = 0.447214 Аrad = 0.785398 Brad = 1.249046 Сrad = 1.107149 Аgr = 45 Bgr = 71.565051 Сgr = 63.434949.
Теперь находим радиус: R = (9.486833*12.727922*12)/(4*54) = 1448.972/216 = = 6.708203932. Это же значение можно представить как R = √45 = 3√5.
Площадь треугольника АСД можно найти проще: S = (1/2)*АД*АС*sin 45° = (1/2)*9√2*12*(1/√2) = 54.
Радиус окружности можно определить через корни: R = ((√90)*(9√2)*12)/4*54 = 108√180/216 = √45.
1. угол АСL = углу LCB (т.к. CL - биссектриса) 2. СМ = 1/2 АВ (в соответствии с теоремой меридиана = 1/2 гипотенузы) 1/2 АВ = АМ=МВ (т.к. СМ - меридиана и делит гипотенузу пополам) отсюда СМ = МВ сответственно - СМВ это равнобедренный треугольник и у него углы у основания равны поэтому угол МСВ = углу МВС 3. угол В (он же угол МВС=углу МСВ) можно выразить в треугольник АВС как 180 - (90- угол А) = 90 - угол А в треугольнике АСН угол АСН можно выразить в треугольнике АСН как 180 - (90 - угол А) = 90 - угол А следовательно угол АСН = углу МСВ 4. угол АСL (АСН + НСL) = углу LСВ (LСМ + МСВ) при равенстве угол АСН = углу МСВ получается равенство, изначально стоящее в задаче в качестве доказывания HCL = LCM
АЕ = АД*cos 45° = 9√2*(1/√2) = 9.
EC = BC*cos 45° = 3√2*(1/√2) = 3.
Диагонали АС и ВД равны друг другу по свойству вписанной трапеции.
АС = ВД = 9 + 3 = 12.
Они образуют 2 треугольника, вписанных в ту же окружность, что и трапеция.
Поэтому радиус окружности, описанной около трапеции находим по формуле радиуса окружности. описанной около треугольника.
R = abc/(4S).
Боковую сторону находим по теореме косинусов:
СД = √(АС²+АД²-2*АС*АД*cos45°) = √(162+144-216) = √90 =
= 9.486833.
Площадь треугольника АСД находим по формуле Герона:
S √(p(p-a)(p-b)(p-c).
Полупериметр р = (а+в+с)/2 = 17.107378.
Тогда S = 54.
Детали этого треугольника:
a b c p 2p S
9.486833 12.727922 12 17.107378 34.21475504 54
x=р-а y=р-в z=р-с x*y*z p*x*y*z
7.620545 4.379456 5.107378 170.45278 2916
cos A = 0.707107 cos B = 0.316228 cos С = 0.447214
Аrad = 0.785398 Brad = 1.249046 Сrad = 1.107149
Аgr = 45 Bgr = 71.565051 Сgr = 63.434949.
Теперь находим радиус:
R = (9.486833*12.727922*12)/(4*54) = 1448.972/216 = = 6.708203932.
Это же значение можно представить как R = √45 = 3√5.
Площадь треугольника АСД можно найти проще:
S = (1/2)*АД*АС*sin 45° = (1/2)*9√2*12*(1/√2) = 54.
Радиус окружности можно определить через корни:
R = ((√90)*(9√2)*12)/4*54 = 108√180/216 = √45.