Question

Даны координаты вершин треугольной пирамиды ABCD. A (2; 0; -3), b (0; 3; 1), c (1; 1; 3), d (-2; 1; 4) Найдите косинус угла с рисунком

Answer 1

Для нахождения косинуса угла между двумя векторами в трехмерном пространстве, нам необходимо знать координаты этих векторов.

Первым шагом найдем векторы AB, AC и AD.

Вектор AB:
Для нахождения вектора AB, нам нужно вычесть координаты вершины A из вершины B.
AB = B - A = (0 - 2; 3 - 0; 1 - (-3)) = (-2; 3; 4)

Вектор AC:
AC = C - A = (1 - 2; 1 - 0; 3 - (-3)) = (-1; 1; 6)

Вектор AD:
AD = D - A = (-2 - 2; 1 - 0; 4 - (-3)) = (-4; 1; 7)

Теперь, чтобы найти косинус угла между двумя векторами, мы используем формулу:

cos(θ) = (AB · AC) / (||AB|| * ||AC||),

где ||AB|| - это длина вектора AB и вычисляется по формуле:

||AB|| = √(ABx² + ABy² + ABz²),

где ABx, ABy, ABz - это координаты вектора AB.

Аналогично, мы найдем ||AC||.

Теперь вычислим значения:

||AB|| = √((-2)² + 3² + 4²) = √(4 + 9 + 16) = √29

||AC|| = √((-1)² + 1² + 6²) = √(1 + 1 + 36) = √38

Теперь, нам нужно найти AB · AC, где AB · AC представляет собой скалярное произведение векторов AB и AC и вычисляется по формуле:

AB · AC = ABx * ACx + ABy * ACy + ABz * ACz,

где ABx, ABy, ABz - это координаты вектора AB, а ACx, ACy, ACz - это координаты вектора AC.

AB · AC = (-2 * -1) + (3 * 1) + (4 * 6) = 2 + 3 + 24 = 29

Теперь подставим все значения в формулу для косинуса угла:

cos(θ) = (29) / (√29 * √38)

Продолжаем вычисления:

cos(θ) = 29 / (√29 * √38)

Теперь возьмем логарифм от обоих частей:

log(cos(θ)) = log(29 / (√29 * √38))

Вычислим это значение с помощью калькулятора или математического программного обеспечения:

log(cos(θ)) = -0.2087

Теперь возьмем обратный логарифм от этого значения:

cos(θ) = 10^(-0.2087)

Вычисляем значение:

cos(θ) = 0.661

Таким образом, косинус угла между векторами AB и AC равен 0.661.