С ЭТИМ ВОПРОСОМ! ЗА ОТВЕТ! На однiй iз граней двогранного кута позначено точку M, з якої проведено перпендикуляр MA до ребра кута i перпендикуляр MB до другої гранi. Обчислiть градусну мiру двогранного кута, якщо МА = 4 см, МВ = 2 см
Примем длину ребра куба равной 70 (для кратности между 14 и 5).
Так как точки М и N, принадлежат плоскости АВС, которая параллельна заданной плоскости А1В1С1, то угол между плоскостями MNK и A1B1C1 равен углу между плоскостями MNK и ABC.
Помести куб в систему координат точкой А в начало,ребром АД по оси Ох, ребром АВ по оси Оу.
В соответствии с заданием определим координаты точек.
Пусть (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2, z3) – координаты первой, второй и третьей точки соответственно. Уравнение плоскости определяется из выражения: (x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1) – (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) – (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) + (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) + (z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) – (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) = 0.
Подставив координаты точек в данное выражение и сократив на 35, получаем уравнение плоскости MNК: 2x + 14y + 5z - 70 = 0.
Угол между плоскостями определяем через его косинус:
cos α = |A₁·A₂ + B₁·B₂ + C₁·C₂|
√(A₁² + B₁² + C₁²)*√(A₂² + B₂² + C₂²) = 1/3.
α = arc cos(1/3) = 1,23096 радиан или 70,529 градуса.
Для начала найдем координаты векторов (сторон) и их модули (длины). Вектор |АВ|=√[(Xb-Xa)²+(Yb-Ya)²]= √(0+3²)=3. AB{0;3}. Вектор |АD|=√[(Xd-Xa)²+(Yd-Ya)²]= √(4²+2²)=2√5. AD{4;2}. Вектор |BC|=√[(Xc-Xb)²+(Yc-Yb)²]= √(2²+1²)=√5. BC{2;1}. Вектор |CD|=√[(Xd-Xc)²+(Yd-Yc)²]= √(2²+(-2)²)=2√2. CD{2;1}. Мы видим, что в четырехугольнике нет равных сторон. Проверим их на параллельность (коллинеарность). Два вектора коллинеарны, если отношения их координат равны. Таким образом, вектора ВС и AD - параллельны, то есть четырехугольник - трапеция. Проверим, не прямоугольная ли у нас трапеция. Для этого достаточно проверить углы между боковыми сторонами и основанием - векторами АВ и AD, и DA и DC. Углы между векторами (сторонами) находятся по формуле: cosα=(x1*x2+y1*y2)/[√(x1²+y1²)*√(x2²+y2²)]. Определение: "Углом между двумя векторами, отложенными от одной точки, называется кратчайший угол, на который нужно повернуть один из векторов вокруг своего начала до положения сонаправленности с другим вектором". <A - угол между векторами АВ и АD CosA ( = (0+6)/(6√5)=√5/5 ≈ 0,447. <A=arccos(0,447) ≈64°. <D - угол между векторами DA и DC: CosD= (8+(-4))/(4√10)= √10/10 ≈ 0,316. <C=arccos(0,316) ≈72°. Прямых углов нет. Итак, четырехугольник выпуклый и является трапецией. P.S. Для проверки решения сделаем чертеж на координатной плоскости. (см. приложение).
Примем длину ребра куба равной 70 (для кратности между 14 и 5).
Так как точки М и N, принадлежат плоскости АВС, которая параллельна заданной плоскости А1В1С1, то угол между плоскостями MNK и A1B1C1 равен углу между плоскостями MNK и ABC.
Помести куб в систему координат точкой А в начало,ребром АД по оси Ох, ребром АВ по оси Оу.
В соответствии с заданием определим координаты точек.
А(0; 0; 0), В(0; 70; 0), С(70; 70; 0). Уравнение АВС: z = 0.
M(35; 0; 0), N(0; 5; 0), K(0; 0; 14).
Пусть (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2, z3) – координаты первой, второй и третьей точки соответственно. Уравнение плоскости определяется из выражения: (x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1) – (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) – (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) + (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) + (z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) – (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) = 0.
Подставив координаты точек в данное выражение и сократив на 35, получаем уравнение плоскости MNК: 2x + 14y + 5z - 70 = 0.
Угол между плоскостями определяем через его косинус:
cos α = |A₁·A₂ + B₁·B₂ + C₁·C₂|
√(A₁² + B₁² + C₁²)*√(A₂² + B₂² + C₂²) = 1/3.
α = arc cos(1/3) = 1,23096 радиан или 70,529 градуса.