ответ: (x-5)² + y² + z² = 49 або (x+7)² + y² + z² = 49.
Объяснение:
Загальне рівняння сфери має вигляд:
(x-x₀)² + (y-y₀)² + (z-z₀)² = R²
где (x₀;y₀;z₀) - центр сферы.
За умовою задачі сфера належить осі абсцис, тобто координати центра сфери (a₀; 0; 0).
(x - a₀)² + y² + z² = 7²
Оскільки точка M(-1;2;-3) належить сфері, то їх координати задовільняють рівняння сфери.
(-1 - a₀)² + 2² + (-3)² = 49
(a₀ + 1)² = 36
a₀ + 1 = ±6
Звідси маємо, що a₀ = 5 або a₀ = -7. Тобто, шукане рівняння сфери:
(x-5)² + y² + z² = 49 або (x+7)² + y² + z² = 49
↑АС = ↑р = ↑а + ↑b
↑DB = ↑q = ↑a - ↑b
Чтобы найти угол между векторами p и q, построим вектор, равный вектору q, с началом в точке А.
∠ЕАС - искомый.
Из ΔABD найдем длину вектора q по теореме косинусов:
|↑q|² = AB² + AD² - 2·AB·AD·cos60° = 25 + 64 - 2·5·8·1/2 = 89 - 40 = 49
|↑q| = 7
Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°, значит ∠АВС = 120°.
Из ΔABС найдем длину вектора р по теореме косинусов:
|↑p|² = AB² + BC² - 2·AB·BC·cos120° = 25 + 64 + 2·5·8·1/2 = 89 + 40 = 129
|↑p| = √129
Из ΔЕАС по теореме косинусов:
cos α = (AE² + AC² - EC²) / (2 · AE · AC)
cos α = (49 + 129 - 256) / (2 · 7 · √129) = - 78 / (14√129) = - 39√129 / 903
cos α = - 13√129/301