В правильном шестиугольнике диагональ BD перпендикулярна стороне AB. Это легче легкого увидеть, если вычесть из угла CBA = 120° угол DBC = 30° (это угол в основании равнобедренного треугольника CBD с углом при вершине BCD = 120°); Поэтому плоскость DBB1D1 перпендикулярна A1B1. Это потому, что AB (и параллельная ей A1B1, конечно) перпендикулярна не только BD, но и ребру BB1, к примеру. Поэтому искомое расстояние - это просто отрезок DB1. Треугольник DBB1 - прямоугольный c катетами BD и BB1 = 3. Правильный шестиугольник можно себе представить, как "сложенные вершинами" 6 одинаковых правильных треугольника. Поэтому большая диагональ равна удвоенной стороне, AD = 6. (Или можно так сказать - большая диагональ равна диаметру описанной окружности, а сторона - хорде дуги 60° этой окружности, то есть равна радиусу.) Кажется, что теперь надо вычислить BD и потом найти B1D по теореме Пифагора. Так вот на самом деле ничего этого делать не нужно (хотя это и ОООЧЕНЬ просто). Дело в том, что треугольник DBB1 равен треугольнику DBA по двум катетам, так как BA = BB1 = 3. Поэтому ответ уже получен, DB1 = 6.
В равностороннем треугольнике биссектрисы являются и медианами, а медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины треугольника. Значит расстояние от точки пересечения биссектрис до стороны в два раза меньше расстояния от этой же точки до вершины треугольникаМедианы треугольника в точке пересечения делятся в пропорции 2:1Поскольку в равностороннем треугольнике высоты являются одновременно и медианами, то расстояние от точки пересечения до стороны является, как отрезком высоты, так и отрезком медианы, то есть составляет 1 часть, а расстояние до вершины - 2 части. Что и требовалось доказать.
Поэтому плоскость DBB1D1 перпендикулярна A1B1. Это потому, что AB (и параллельная ей A1B1, конечно) перпендикулярна не только BD, но и ребру BB1, к примеру.
Поэтому искомое расстояние - это просто отрезок DB1.
Треугольник DBB1 - прямоугольный c катетами BD и BB1 = 3.
Правильный шестиугольник можно себе представить, как "сложенные вершинами" 6 одинаковых правильных треугольника. Поэтому большая диагональ равна удвоенной стороне, AD = 6.
(Или можно так сказать - большая диагональ равна диаметру описанной окружности, а сторона - хорде дуги 60° этой окружности, то есть равна радиусу.)
Кажется, что теперь надо вычислить BD и потом найти B1D по теореме Пифагора. Так вот на самом деле ничего этого делать не нужно (хотя это и ОООЧЕНЬ просто). Дело в том, что треугольник DBB1 равен треугольнику DBA по двум катетам, так как BA = BB1 = 3. Поэтому ответ уже получен, DB1 = 6.