Question

Найдите расстояние от точки пересечения прямых AB и CD до прямой 6x – 8y = -1, если A (1; -1), В (2; 1), C (3; 1), D(-4; 2). КАК НАЙТИ ТОЧКУ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПРЯМЫХ

Answer 1

Добрый день! Для начала произведем нахождение точки пересечения прямых AB и CD. Для этого воспользуемся системой уравнений.

Уравнение прямой AB представимо в виде уравнения прямой вида y = kx + b, где k - коэффициент наклона прямой, b - свободный член.

Так как у нас даны координаты двух точек прямой AB (A (1; -1) и В (2; 1)), мы можем найти коэффициент наклона прямой по формуле: k = (y2 - y1) / (x2 - x1)
k = (1 - (-1)) / (2 - 1)
k = 2 / 1
k = 2

Теперь, используя коэффициент наклона, можем найти свободный член b в уравнении прямой AB. Для этого подставим в уравнение координаты одной из точек:
y = kx + b
-1 = 2 * 1 + b
-1 = 2 + b
b = -1 - 2
b = -3

Таким образом, уравнение прямой AB будет иметь вид: y = 2x - 3

Процедура для нахождения уравнения прямой CD аналогична. В данном случае координаты точек C (3; 1) и D (-4; 2). Проведя аналогичные вычисления, получим уравнение прямой CD: y = -1/7 * x + 22/7

Теперь перейдем к нахождению расстояния от точки пересечения прямых AB и CD до прямой 6x - 8y = -1.

Для начала подставим в данное уравнение координаты точки пересечения. Найдем значение x и y, чтобы получить эти координаты. Для этого решим систему уравнений, состоящую из уравнений прямых AB и CD:

2x - 3 = -1/7 * x + 22/7

Приведем уравнение к общему знаменателю:

14x - 21 = -x + 2

Соберем x-ы в одной части уравнения:

14x + x = 2 + 21

15x = 23

x = 23 / 15

x = 1.533333...

Теперь найдем значение y, подставив найденное значение x в одно из уравнений прямых AB или CD. В данном случае мы выберем уравнение AB:

y = 2 * (23 / 15) - 3

y = 46 / 15 - 45 / 15

y = 1 / 15

Таким образом, координаты точки пересечения прямых AB и CD равны (1.533, 0.067).

Теперь нам нужно найти расстояние от этой точки до прямой 6x - 8y = -1. Для этого воспользуемся формулой: D = |Ax + By + C| / sqrt(A^2 + B^2), где A, B и C - коэффициенты уравнения прямой, а x и y - координаты точки.

В нашем случае, уравнение прямой 6x - 8y = -1 имеет следующие коэффициенты:
A = 6, B = -8, C = -1

Координаты точки пересечения (1.533, 0.067) подставим в формулу расстояния:

D = |6 * 1.533 - 8 * 0.067 - 1| / sqrt(6^2 + (-8)^2)

D = |9.198 - 0.536 - 1| / sqrt(36 + 64)

D = |7.662| / sqrt(100)

D = 7.662 / 10

D = 0.7662

Таким образом, расстояние от точки пересечения прямых AB и CD до прямой 6x - 8y = -1 равно 0.7662 единицы длины.