Question

В треугольнике ABC дано: AB = 10, ∠ B = 60°. Найдите медиану, проведённую к стороне AC.
Примечание:

cos (α + β) = cos α ∙ cos β – sin α ∙ sin β.

Answer 1

Для решения данной задачи нам понадобится использовать закон косинусов и формулу для нахождения медианы треугольника. Давайте разберемся по шагам:

Шаг 1: Найдем значение угла C, используя свойство суммы углов треугольника. Так как углы треугольника в сумме дают 180 градусов, то C = 180 - 60 - 90 = 30 градусов.

Шаг 2: Применим закон косинусов для нахождения стороны AC. Закон косинусов гласит: c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(C), где c - сторона, противолежащая углу C, a и b - смежные стороны, а C - угол, противолежащий стороне c. В нашем случае у нас известны сторона AB = 10, угол B = 60°, а угол C = 30°. Подставим значения в формулу:

AC^2 = 10^2 + 10^2 - 2 * 10 * 10 * cos(30°).

Упростим это уравнение:

AC^2 = 100 + 100 - 200 * cos(30°).

AC^2 = 200 - 200 * cos(30°).

AC^2 = 200 - 200 * (√3/2).

AC^2 = 200 - 100√3.

AC^2 = 200 - 100√3.

AC ≈ √(200 - 100√3).

Шаг 3: Найдем значение медианы MC, проведенной к стороне AC. Формула для нахождения медианы гласит: MC = (1/2) * √(2 * b^2 + 2 * c^2 - a^2), где a, b, c - стороны треугольника, противолежащие вершине M (то есть, AC - сторона, противолежащая вершине M).

Подставим полученные значения:

MC ≈ (1/2) * √(2 * 10^2 + 2 * (200 - 100√3) - 10^2).

MC ≈ (1/2) * √(2 * 100 + 2 * (200 - 100√3) - 100).

MC ≈ (1/2) * √(200 + 2 * 200 - 2 * 100√3 - 100).

MC ≈ (1/2) * √(200 + 400 - 200√3 - 100).

MC ≈ (1/2) * √(400 - 200√3).

MC ≈ (1/2) * √(2 * 200 - 200√3).

MC ≈ (1/2) * √(200 * (2 - √3)).

MC ≈ (1/2) * (10√(2 - √3)).

Таким образом, медиана, проведенная к стороне AC, будет примерно равна (1/2) * (10√(2 - √3)).