Question

Прямокутники ABCD I AMKD мають спільну сторону AD. Знайдіть кут між площинами прямокутників, якщо АD = 6 см, DK =16 см, DC = 12 см, МС = 10 см.

Answer 1

Добрый день! Я с удовольствием помогу вам решить эту задачу. Для начала давайте разберем, что нам известно:

- Прямоугольники ABCD и AMKD имеют общую сторону AD.
- Мы знаем следующие размеры сторон: AD = 6 см, DK = 16 см, DC = 12 см, MC = 10 см.

Для нахождения угла между плоскостями прямоугольников нам потребуется использовать так называемые теоремы о трех перпендикулярах. Эти теоремы утверждают, что если две прямые перпендикулярны к одной третьей прямой, то они взаимно перпендикулярны между собой.

1) Найдем вектора AB и AD.
Вектор AB можно найти как разность координат точек A и B, то есть AB = B - A:
AB = (0, 0, 0) - (0, 10, 0) = (0, -10, 0).
Аналогично, AD = D - A:
AD = (6, 0, 0) - (0, 10, 0) = (6, -10, 0).

2) Найдем векторное произведение AB и AD:
AB x AD = (0, -10, 0) x (6, -10, 0).
Для нахождения векторного произведения необходимо использовать следующую формулу:
(a1, a2, a3) x (b1, b2, b3) = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1).
Применяя данную формулу, получим:
AB x AD = (0 * 0 - 0 * -10, 0 * 6 - 0 * 0, -10 * 6 - 0 * -10)
= (0, 0, -60) = (0, 0, -60).

3) Найдем длину вектора AB x AD:
|AB x AD| = √(0^2 + 0^2 + (-60)^2).
|AB x AD| = √(0 + 0 + 3600) = √3600 = 60.

4) Теперь найдем вектора MD и MC.
MD = D - M = (6, 0, 0) - (10, 10, 0) = (-4, -10, 0).
MC = C - M = (12, 0, 0) - (10, 10, 0) = (2, -10, 0).

5) Найдем векторное произведение MD и MC:
MD x MC = (-4, -10, 0) x (2, -10, 0).
Применяя формулу для векторного произведения:
MD x MC = (-4 * 0 - 0 * -10, 0 * 2 - (-4) * 0, (-4) * (-10) - (-10) * 0)
= (0, 0, 40) = (0, 0, 40).

6) Найдем длину вектора MD x MC:
|MD x MC| = √(0^2 + 0^2 + 40^2) = √(0 + 0 + 1600) = √1600 = 40.

7) Теперь найдем скалярное произведение векторов AB x AD и MD x MC:
(AB x AD) · (MD x MC) = (0, 0, -60) · (0, 0, 40).
Скалярное произведение двух векторов определяется следующим образом:
(a1, a2, a3) · (b1, b2, b3) = a1b1 + a2b2 + a3b3.
Применяя данную формулу, получим:
(AB x AD) · (MD x MC) = 0 * 0 + 0 * 0 + (-60) * 40 = 0 - 0 + (-2400) = -2400.

8) Найдем произведение длин векторов AB x AD и MD x MC:
|AB x AD| * |MD x MC| = 60 * 40 = 2400.

9) Наконец, найдем косинус угла между плоскостями прямоугольников:
cos α = (AB x AD) · (MD x MC) / (|AB x AD| * |MD x MC|) = -2400 / 2400 = -1.

Таким образом, косинус угла между плоскостями прямоугольников равен -1. Обратите внимание, что косинус угла -1 соответствует углу 180 градусов или π радиан. То есть угол между плоскостями равен 180 градусов или π радиан.