Даны вершины пирамиды: А (2;0;4, В(0;3;7), С(0;0;6), S(4;3;5).
Находим координаты векторов:
АС = (-2; 0; 2), АS = (2; 3; 1).
Их векторное произведение равно: 0 + 4j - 6k - (-2j) - 6i =
= (-6; 6; -6). Модуль этого произведения равен √(36 + 36 + 36) = 6√3.
Площадь грани ACS равна:
S(ASC) = (1/2)*6√3 = 3√3 кв.ед.
Находим вектор АВ = (-2; 3; 3).
Объём пирамиды равен:
V = (1/6)*((AC x AS)*AB) = (1/6)*(12 + 18 - 18) = 12/6 = 2 куб.ед.
Высота, опущенная на грань ACS, равна:
h(ASC) = (3V)/(S(ASC) = (3*2)/(3√3) = 2√3/3.
р=(13+14+15)/2=21
С другой стороны площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Пусть ВС основание, высота АD=H
ВС·H/2=84⇒ 14·H=168, значит H=12
Проведем h=MK треугольника ВМС. Основание ВС=14.
Чтобы найти h =MK рассмотрим треугольник АDE, АЕ- медиана к стороне ВС. Медиана в точке М-точке пересечения медиан -делится в отношении 2:1, считая от вершины. Значит АМ:МЕ=2:1, а АЕ:МЕ=3:1
Δ МКЕ подобен Δ ADE:
АЕ:МЕ=AD:MK ⇒
H=3h
h=H/3=12/3=4
S(ΔBMC)=14·4/2=28
Высота треугольника ВМС в три раза меньше высоты АD треугольника АВС.
Значит и площадь этого треугольника в три раза меньше.
S(ΔВМС)=1/3 S(ΔABC)=84/3=28 кв см.
Между прочим и площади двух других треугольников тоже 28 кв. см