Question

Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с углом 15°, высота пирамиды равна 4 см, а боковые рёбра образуют с плоскостью основания углы 30°. Найдите объём пирамиды.

Answer 1

32 см³

Объяснение:

Чтобы найти объем пирамиды, надо знать площадь основания и высоту пирамиды.

Проведем SH - высоту пирамиды. SH = 4 см.

Тогда АН, ВН и СН - проекции наклонных SA, SB и SC на плоскость основания соответственно.

∠SAH = ∠SBH = ∠SCH = 30°, значит прямоугольные треугольники равны ΔSAH = ΔSBH = ΔSCH по катету (SH - общий катет) и противолежащему острому углу. Следовательно

НА = НВ = НС, т.е. Н - это центр окружности, описанной около основания.

В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы.

Итак, Н - середина гипотенузы АВ.

ΔSBH:  ∠SHB = 90°,

ВН = SH · ctg 30° = 4√3 см

АВ = 2ВН = 2 · 4√3 = 8√3 см

ΔАВС:  ΔАСВ = 90°,  ∠ВАС = 15°

 АС = АВ · cos 15° = 8√3 · cos 15°

 BC = AB · sin 15° = 8√3 · sin15°

Площадь основания:

S = 0,5 · AC · BC

S = 0,5 · 8√3 · cos 15° · 8√3 · sin15°

Применим формулу синуса двойного угла:

$2\sin\alpha \cdot \cos\alpha =\sin 2\alpha$

S =  4 · 3 · 4 · sin 30° = 48 · 0,5 = 24 см²

Объем пирамиды:

$V=\dfrac{1}{3}S\cdot SH$

$\boldsymbol{V}=\dfrac{1}{3}\cdot 24\cdot 4=8\cdot 4\boldsymbol{=32}$ см³