Проведем в тр. АВС биссектрисы углов А и В: АК и ВМ. О - точка пересечения биссектрис.. Пусть угол, смежный углу С - х., а острый угол между биссектрисами: ВОК = АОМ = а.
Найдем углы 4-угольника МОКС:
По свойству внешнего угла тр-ка:
ОКС = а + В/2 (внешний к тр. ВОК)
ОМС = а + А/2 (внешний к тр. АОК)
МОК = 180-а (смежный с углом а)
Еще пригодится соотношение между углами А и В и а:
а = А/2 + В/2 (внешний к тр. АОВ) (1)
Итак угол МСК 4-ника МОКС, с одной стороны равен 180 - х (как смежный углу х), с другой стороны: МСК = 360 - (ОКС+ОМС+МОК) ( так как сумма всех углов выпуклого 4-ника равна 360 гр). Получим уравнение:
360-(а+В/2+а+А/2+180-а) = 180-х
180 - а - (А+В)/2 = 180 - х
И с учетом (1) получим:
-2а = -х
х = 2а, что и требовалось доказать
P.S.Если опять не получится здесь, чертеж вышлю на почту.
а) Находим уравнение прямой ВС:
у = кх+b Подставим сюда координаты точек В и С, составим систему и найдем k и b:
5k + b = -7 b=-7-5k = 8
2k+ b = 2 3k = -9 k = -3
Получили уравнение: у = -3x + 8
Опускаем перпендикуляр из А на ВС, получим точку К -проекция А на ВС.
Прямая АК имеет угловой коэффициент: -1/k = 1/3
Значит ее уравнение имеет вид:
у = x/3 +b. Подставим координаты точки А:
-1 + b = -5 b = -4 Уравнение АК: у = х/3 - 4
Ищем координаты точки пересечения АК и ВС: (это и есть искомая проекция)
-3х+8 = х/3 - 4 10х/3 = 12 х = 3,6 у = -10,8 + 8 = -2,8.
ответ: (3,6; -2,8).
б) Вектор АВ: (2+3; 2+5):(5;7) Пусть М(х;у).
Тогда вектор СМ:((х-5); (у+7))
Скалярное произведение (СМ*АВ) = 5(х-5) + 7(у+7) = 122
С другой стороны точка М принадлежит АВ. Найдем уравнение АВ:
у = kx+b
-3k+b=-5 b = -5+3k = -4/5
2k+b=2 5k=7 k = 7/5
Уранение АВ: у = 7х/5 - 4/5 - вот и еще уравнение для нахождения координат точки М. Получили систему:
5(х-5) + 7(у+7) = 122 5х + 7у = 98 |*5 25х + 35у = 490
у = 7х/5 - 4/5 5у - 7х = -4 |*(-7) 49х - 35у = 28
74х = 518 x = 7 7у = 98 - 35 = 63 у = 9
ответ: М(7; 9).