Question

В ∆ АВС отмечены точки D и М на сторонах АС и ВС соответственно (см. рис.) Площадь ∆АВС равна 50. Найдите площадь ∆DCM, если DC = 3, DA = 2 и DM параллельна АВ.

Answer 1

Для решения этой задачи мы можем использовать свойство параллельных прямых и свойство долей подобных треугольников.

Сначала построим прямую, параллельную стороне АВ и проходящую через точку D. Обозначим точку пересечения этой прямой с стороной BC буквой N. Так как DM параллельна АВ, то по свойству параллельных прямых, угол BDM равен углу МНD.

Теперь посмотрим на подобные треугольники АВС и DMC. У них соответственные углы равны, так как угол BDM равен углу МНD и угол CDM равен углу NHD (вертикальные углы), а угол BAC равен углу DCM и угол ACB равен углу CDС. Также, отрезок DM параллелен стороне АВ, поэтому у подобных треугольников отношение длин сторон равно.

Таким образом, мы можем записать пропорцию:
(площадь ∆DМС)/(площадь ∆АВС) = (DM^2)/(AB^2)

Из выражения площади ∆DМС, которую мы хотим найти, и известной площади ∆АВС подставим известные значения:
(площадь ∆DМС)/50 = (3^2)/(5^2)

Решим пропорцию:
(площадь ∆DМС)/50 = 9/25

Умножим обе части на 50, чтобы избавиться от знаменателя:
площадь ∆DМС = (9/25) * 50 = 18

Таким образом, площадь ∆DМС равна 18.