Question

В прямоугольный треугольник $ABC ~(\angle C=90^\circ)$ вписана окружность, касающаяся его сторон в точках $A_1,~B_1,~C_1$. Найти отношение площади треугольника $ABC$ к площади треугольника $A_1,~B_1,~C_1$, если $AC=4$ см, $BC=3$ см.

Answer 1

5

Объяснение:

Гипотенуза $AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$. Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности $r=\dfrac{AC+BC-AB}{2}=\dfrac{3+4-5}{2}=1$. Площадь $S_{ABC}=\dfrac{AC\cdot BC}{2}=\dfrac{3\cdot 4}{2}=6$.

Рассмотрим четырёхугольник OA₁CB₁: ∠С = 90° по условию, ∠A₁ = ∠B₁ = 90° как углы между радиусом и касательной, тогда ∠O = 360° - ∠C - ∠A₁ - ∠B₁ = 360° - 3·90° = 90°. Значит, OA₁CB₁ — прямоугольник, но поскольку OA₁ = OB₁ = r, это квадрат. Тогда OA₁ = OB₁ = B₁C = A₁C = 1.

AC₁ = AB₁ как отрезки касательных, проведённых из одной точки. При этом AB₁ = AC - B₁C = 4 - 1 = 3, т. е. AC₁ = AB₁ = 3. Аналогично BC₁ = A₁B = BC - A₁C = 3 - 1 = 2.

Найдём площадь $S_{A_1B_1C_1}$ путём вычитания площадей $S_{A_1B_1C},S_{AB_1C_1},S_{A_1BC_1}$ из площади $S_{ABC}$:

$S_{A_1B_1C}=\dfrac{A_1C\cdot B_1C}{2}=\dfrac{1\cdot 1}{2}=\dfrac{1}{2}=0{,}5\\S_{AB_1C_1}=\dfrac{1}{2}\cdot AB_1\cdot AC_1\cdot \sin{\angle{A}}=\dfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 3\cdot\dfrac{3}{5}=\dfrac{27}{10}=2{,}7\\S_{A_1BC_1}=\dfrac{1}{2}\cdot A_1B\cdot BC_1\cdot\sin{\angle{B}}=\dfrac{1}{2}\cdot 2\cdot 2\cdot \dfrac{4}{5}=\dfrac{16}{10}=1{,}6\\S_{A_1B_1C_1}=S_{ABC}-S_{A_1B_1C}-S_{AB_1C_1}-S_{A_1BC_1}=6-0{,}5-2{,}7-1{,}6=1{,}2\\\dfrac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}}=\dfrac{6}{1{,}2}=5$

Answer 2

По теореме Пифагора, AB²=BC²+AC²

$AB = \sqrt{9 + 16} \\ AB = 5$

Прямоугольный треугольник точками касания вписанной окружности делится на значения как на фото.

$CA_ {1}=CB_ {1} = r \\ AB_ {1}=AC_ {1} = y \\ BA_ {1} =BC_ {1} = x$

r – радиус вписанной окружности.

Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник находится по формуле

$r = \frac{a + b - c}{2}$

$r = \frac{3 + 4 - 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$

r=1

x=BC-r

x=3-1=2

y=AB-x

y=5-2=3

$CA_ {1}=CB_ {1} = 1 \\ AB_ {1}=AC_ {1} = 3\\ BA_ {1} =BC_ {1} = 2$

Площадь треугольник – половина произведения двух сторон и синуса угла между ними.

$S = \frac{1}{2} ab \sin( \gamma )$

Площадь ΔABC:

$S_ {ABC} = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 \times \sin( {90}^{ \circ} ) = 6$

Площадь треугольника A1B1C1:

$S_ {A_ {1} B_ {1} C_ {1}}=S_ {ABC}-S_ {CA_ {1} B_ {1}}-S_ {BA_ {1} C_ {1}}-S_ {AB _ {1} C_ {1}}$

$\sin( \angle B) = \frac{4}{5}$

$\sin( \angle A) = \frac{3}{5}$

$S_ {CA_ {1} B_ {1}} = \frac{1}{2} \times r \times r \times \sin( \angle C) = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 \times \sin( {90}^{ \circ} ) = \frac{1}{2}$

$S_ {BA_ {1} C_ {1}} = \frac{1}{2} \times x \times x \times \sin( \angle B) = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 \times \frac{4}{5} = \frac{8}{5}$

$S_ {AB_ {1} C_ {1}} = \frac{1}{2} \times y \times y \times \sin( \angle A) = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 \times \frac{3}{5} = \frac{27}{10} = 2.7$

И теперь найдем площадь ΔA1B1C1:

$S_ {A_ {1} B_ {1} C_ {1}} = 6 - \frac{1}{2} - \frac{8}{5} - 2.7 = 6 - 0.5 - 1.6 - 2.7 = 1.2$

Отношение площади ΔABC на площадь ΔA1B1C1:

$\frac{S_ {ABC}}{S_ {A_ {1} B_ {1} C_ {1}}} = \frac{6}{1.2} = 5$

$S_ {ABC}:S_ {A_ {1} B_ {1} C_ {1}} = 5:1$