Question

В параллелограмме ABCD точки M, N, K, L лежат на сторонах AB, BC, CD, AD соответственно, причём AM:MB=CK:KD=1:3, BN:NC=DL:LA=1:4. С векторов определи, верно ли, что отрезки MK и NL точкой пересечения делятся пополам.
Полное решение , с рисунком желательно

Answer 1

Чтобы решить эту задачу, нам нужно обратиться к знаниям о параллелограммах и отношениях векторов.

Для начала нарисуем параллелограмм ABCD:

D------C
| |
| |
A------B

Теперь разделим стороны параллелограмма отношениями AM:MB и CK:KD:

A------M--B
| | |
| | |
D------K--C

Затем проведем отрезки BN и DL:

A------M--B
| | |
| N---L |
D------K--C

Теперь мы должны проверить, точкой ли пересечения отрезков MK и NL делятся пополам. Для этого мы представим эти отрезки в виде векторов.

Перейдем к векторной записи. Обозначим A, B и C точки параллелограмма: вектором AB обозначим вектор, направленный от точки A к точке B, и аналогично обозначим векторы BC, CD и DA.

Так как мы знаем, что AM:MB = 1:3, то вектор AM можно записать как:

AM = 1/4 * AB

Точно так же, учитывая CK:KD = 1:3, вектор CK может быть записан как:

CK = 1/4 * CD

Таким образом, мы можем представить вектор MK следующим образом:

MK = CK - AM = 1/4 * CD - 1/4 * AB = 1/4 * (CD - AB)

Проделав аналогичные вычисления для отрезка NL, получим:

NL = BN - DL = 1/5 * BC - 1/5 * AD = 1/5 * (BC - AD)

Теперь, чтобы узнать, делятся ли отрезки MK и NL точкой пересечения пополам, нам нужно проверить, равны ли их векторы:

MK = NL

1/4 * (CD - AB) = 1/5 * (BC - AD)

Распишем это равенство:

1/4 * CD - 1/4 * AB = 1/5 * BC - 1/5 * AD

CD - AB = 4/5 * BC - 4/5 * AD

Перенесем все члены, содержащие AB и AD, на одну сторону:

CD + 4/5 * AD = 4/5 * BC + AB

Для проверки этого равенства вычислим еще одну сумму: BN + 4/5 * DL:

1/5 * BC + BN = 1/5 * AD + 4/5 * DL

Подставим значение BN, равное 1/5 * BC, и DL, равное 1/4 * AD:

1/5 * BC + 1/5 * BC = 1/5 * AD + 4/5 * (1/4 * AD)

2/5 * BC = 5/5 * AD

Упростим это выражение:

2/5 * BC = AD

Таким образом, мы видим, что сумма BN + 4/5 * DL также равна 4/5 * BC + AB.

Следовательно, отрезки MK и NL действительно делятся пополам в точке их пересечения.

Надеюсь, мое объяснение было достаточно понятным для школьника.