Question

В треугольнике взяли две произвольные точки М и К. Для каждой нашли сумму рассстояний от нее до вершин треугольника. Докажите что эти две суммы отличаются не более чем на длину отрезка МК С ДЗ

Answer 1

Добрый день!

Для начала, давайте представим себе треугольник ABC, где A, B и C - вершины треугольника. Допустим, что M и K - произвольные точки внутри или на сторонах треугольника. Наша задача - доказать, что сумма расстояний от точки M до вершин треугольника отличается не более чем на длину отрезка MK.

Для доказательства этого утверждения обратимся к неравенству треугольника.

Неравенство треугольника гласит: для любого треугольника, сумма длин двух его сторон всегда больше длины третьей стороны. Мы можем использовать это неравенство в нашем доказательстве.

Рассмотрим сумму расстояний от точки M до вершин треугольника ABC: MA + MB + MC.

Теперь рассмотрим сумму расстояний от точки K до вершин треугольника ABC: KA + KB + KC.

Мы хотим показать, что |MA + MB + MC - (KA + KB + KC)| ≤ |MK|.

Давайте разберемся с каждой частью неравенства по отдельности.

1) Рассмотрим самое левое выражение |MA + MB + MC - (KA + KB + KC)|. Обозначим это выражение как |S|. Мы хотим показать, что |S| ≤ |MK|.

2) Теперь рассмотрим длину отрезка MK. Обозначим его как |MK|.

3) Нам также понадобится длина отрезка AC, которую мы обозначим как |AC|. Это понадобится для объяснения следующего шага.

Теперь докажем, что |S| ≤ |MK|:

Мы знаем, что согласно неравенству треугольника, сумма длин двух сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны. Применим это к треугольнику AMC: MA + MC > AC.

Также применим неравенство треугольника к треугольнику KMC: MK + MC > KC.

Сложим эти два неравенства: MA + MC + MK + MC > AC + KC.

Заметим, что MA + MC + MK + MC = (MA + MB + MC) + KC.

Мы получаем, что (MA + MB + MC) + KC > AC + KC.

Вычтем KC и упростим выражение: MA + MB + MC > AC.

Теперь рассмотрим другую пару сторон треугольника. Применим неравенство треугольника к треугольнику AMB: MA + MB > AB.

И неравенство треугольника к треугольнику KMB: MK + MB > KB.

Сложим эти два неравенства: MA + MB + MK + MB > AB + KB.

Заметим, что MA + MB + MK + MB = (MA + MB + MC) + KC.

Мы получаем, что (MA + MB + MC) + KC > AB + KB.

Вычтем KC и упростим выражение: MA + MB + MC > AB.

Таким образом, мы получили два неравенства: MA + MB + MC > AC и MA + MB + MC > AB.

Обратим внимание, что MA + MB + MC - (KA + KB + KC) = S.

Теперь сравним S и MK:

S = MA + MB + MC - (KA + KB + KC) > AC - AB.

Мы знаем, что AC и AB - это длины сторон треугольника ABC. Согласно неравенству треугольника, AC > AB.

Таким образом, мы имеем S > 0.

Но длина отрезка MK также положительна.

Таким образом, мы доказали, что |S| ≤ |MK|.

Это означает, что сумма расстояний от точки M до вершин треугольника отличается не более чем на длину отрезка MK.

Я надеюсь, что это доказательство понятно и что оно помогло тебе! Если у тебя есть еще вопросы, не стесняйся задавать! Я с радостью помогу.