Question

Из точки М к окружности проведены две прямые, пусть одна из них будет касательной МA, а вторая — секущей МB. Известно, что хорда ВС = 12 см, а длина всей секущей МB составляет 16 см. Найдите длину касательной к окружности МA.

Answer 1

Для решения данной задачи нам понадобятся знания о свойствах касательных и секущих окружностей. 1. Первым шагом построим схему задачи. Нарисуем окружность с центром O и радиусом R, точку M вне окружности, а также прямые МA и МB. B / M \ A |______ C O 2. Согласно свойству касательных, линия МА касается окружности в точке А, а значит, отрезок МА является радиусом окружности. 3. Теперь внимательно обратимся к отрезку МB. Мы знаем, что он является секущей окружности. Когда секущая пересекает окружность, она создает внешнюю и внутреннюю хорды. Здесь отрезок ВС является внешней хордой, а отрезок AC является внутренней хордой. 4. Существует важное свойство секущих и внешних хорд: произведение длин внешней хорды (в данном случае BC) на расстояние от точки пересечения хорд М до центра окружности O равно произведению длин внутренней хорды (в данном случае AC) на расстояние от точки пересечения хорд М до центра окружности O. BC * MO = AC * MO 5. Расстояние от точки пересечения хорд М до центра окружности O является разностью между радиусом окружности O и расстоянием от точки М до центра O. MO = R - OM 6. Так как отрезок МВ является секущей, он делит внешнюю хорду ВС на две равные части. Значит, длина отрезка ВС равна удвоенной длине отрезка BM. BC = 2 * BM 7. Теперь у нас есть два уравнения: BC * (R - OM) = AC * (R - OM) (из пункта 4) BC = 2 * BM (из пункта 6) 8. Подставим значение длины ВС и МВ во второе уравнение: 12 = 2 * BM BM = 6 9. Теперь подставим значение BM в первое уравнение: 6 * (R - OM) = AC * (R - OM) 10. Заметим, что (R - OM) в обоих частях уравнения можно сократить: 6 = AC 11. Значит, длина внутренней хорды AC равна 6 см. 12. Отрезок MA является радиусом окружности и совпадает с MC, поэтому длина касательной MA равна длине внутренней хорды AC, то есть 6 см. Таким образом, длина касательной к окружности МА составляет 6 см.