Question

Геометрия, 11 класс , у меня последняя геометрия осталась :( 1. Высота призмы равняется стороне основы правильной шестиугольной призмы. В сколько раз площадь наибольшего диагонального сечения больше чем площадь основы данной призмы?
2. Треугольник со сторонами равными a, b, c, вращается по очереди вокруг каждой из сторон. Найти отношение объемов полученных при этом тел.

Answer 1

1) В основании правильной шестиугольной призмы - правильный шестиугольник.

Его можно разбить на шесть правильных треугольников.

Сторона основания a, площадь треугольника √3/4 a², площадь шестиугольника 6√3/4 a².

Большая диагональ 2a.

Боковое ребро прямой призмы равно высоте и в данной призме равно стороне основания a.

Площадь большего диагонального сечения 2a².

2a² : 6√3/4 a² = 1 : 3√3/4

Площадь большего диагонального сечения в 3√3/4 раза меньше площади основания.

2) Высота делит треугольник на два прямоугольных треугольника.

В результате вращения получаем два конуса.

Если высота падает на сторону, то объемы конусов складываются, сумма высот конусов даст сторону a.

Vₐ =V₁+V₂ =1/3 пR² (H₁+H₂) =1/3 пR² a

Если высота падает на продолжение стороны , то объемы конусов вычитаются, разность высот конусов даст сторону a.

Vₐ =V₁-V₂ =1/3 пR² (H₁-H₂) =1/3 пR² a

Радиус R основания конуса - высота hₐ к стороне a.

Тогда отношение объемов

$\frac{1}{3}\pi h_{a}^{2} a : \frac{1}{3}\pi h_{b}^{2}b : \frac{1}{3}\pi h_{c}^{2}c$ =

$h_{a}^{2} a : h_{b}^{2}b : h_{c}^{2}c$ =

$(\frac{2S}{a})^{2} a : (\frac{2S}{b})^{2} b : (\frac{2S}{c})^{2} c$ =

$\frac{1}{a}: \frac{1}{b}: \frac{1}{c}$