Question

Діагоналі трапеції взаємно перпендикулярні. Одна з них дорівнює 6 см. Відрізок, що з'єднує середини основ трапеції, дорівнює 4,5 см і
проходить через точку перетину діагоналей. Знайдіть довжину другої
діагоналі.

Answer 1

Длина второй диагонали равна $3\sqrt 5$

Объяснение:

Пусть диагональ $AC = 6$.

Треугольник $BOC$ прямоугольный, причем точка $N$ — середина гипотенузы $BC$, поэтому $ON$ — медиана, $ON = BN = NC = x$.

Аналогично в треугольнике $AOD$$OP = AP = PD = y$.

По условию $ON + OP = x + y = 4{,}5$.

Продлим нижнее основание за точку $D$ так, что $DQ = BC$. Тогда $DBCQ$ — параллелограмм, $CQ = BD$ — вторая диагональ трапеции.

Так как угол между диагоналями прямой, то треугольник $ACQ$ прямоугольный с катетом $AC = 6$ и гипотенузой

$AQ = AD + DQ = 2x + 2y = 2(x + y) = 2 \cdot 4{,}5 = 9.$

Тогда по теореме Пифагора

$CQ = BD = \sqrt {{9^2} - {6^2}} = \sqrt {81 - 36} = \sqrt {45} = 3\sqrt 5 .$