Question

Перпендикуляр, проведений з вершини тупого кута паралелограма до діагоналі, ділить її на відрізки 9 см і 5 см. Знайдіть діагоналі
паралелограма, якщо сума сторін паралелограма дорівнює 56 см.
Відповідь: 14; 4 кор37 см.

Answer 1

Диагонали параллелограмма равны 14 и $4\sqrt{37}$

Объяснение:

Маленькое замечание. Понятно, что диагональ, на которую опущен перпендикуляр, равна $5+9=14$. Но число, фигурирующее в ответе и получающееся при решении задачи, $4\sqrt{37} 4\cdot 6=24$ — бОльшая диагональ, значит именно она лежит против тупого угла параллелограмма. Получается, что в условии фраза «перпендикуляр, проведенный из вершины тупого угла» ложна.

Пусть высота $BH$, проведенная к диагонали $AC$, делит ее на отрезки $AH = 5$ и $CH = 9$.

Так как периметр параллелограмма состоит из двух пар равных сторон, то сумма двух смежных сторон параллелограмма равна $\displaystyle\frac{{56}}{2} = 28$. Пусть $AB = x$, тогда $BC = 28 - x$.

По теореме Пифагора из треугольника $AHB$

$B{H^2} = A{B^2} - A{H^2} = {x^2} - {5^2},$

а из треугольника $BHC$

$B{H^2} = B{C^2} - H{C^2} = {(28 - x)^2} - {9^2}.$

Приравнивая полученные выражения, получаем

${x^2} - 25 = {(28 - x)^2} - 81;{x^2} - 25 = 784 - 56x + {x^2} - 81;56x = 728;x = 13.$

Тогда

$BH = \sqrt {{x^2} - {5^2}} = \sqrt {{{13}^2} - {5^2}} = \sqrt {169 - 25} = \sqrt {144} = 12.$

Если из вершины $D$ опустить перпендикуляр на диагональ $AC$, то треугольники $AHB$ и $CKD$ будут равны, $AH = KC = 5$, значит $HK = 9-5=4$, а

$HO = \displaystyle\frac{{HK}}{2} = \displaystyle\frac{4}{2} = 2.$

Из треугольника $BHO$ по теореме Пифагора

$BO = \sqrt {B{H^2} + H{O^2}} = \sqrt {{{12}^2} + {2^2}} = \sqrt {144 + 4} = \sqrt {148} = 2\sqrt {37} .$

Тогда вторая диагональ параллелограмма

$BD = 2BO = 4\sqrt {37} .$

Answer 2

Вітаю.

Відповідь: розв'язання завдання додаю