Question

В треугольнике ABC, AB=30, Ac=20, bc=25: ae - биссектриса угла a. Из точки e проведена параллельная прямая к стороне ac, которая пересекает сторону ab в точке k. Найдите периметр четырехугольника acek

Answer 1

Периметр четырехугольника АСЕК равен 54 ед.

Объяснение:

В треугольнике ABC, AB = 30, AC = 20, BC = 25; AE - биссектриса угла A. Из точки E проведена параллельная прямая к стороне AC, которая пересекает сторону AB в точке K. Найдите периметр четырехугольника ACEK.

Дано: ΔАВС;

AB = 30, AC = 20, BC = 25;

AE - биссектриса;

ЕК || AC.

Найти: Р(АСЕК)

1. AE - биссектриса;

Свойство биссектрисы:

Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон.

$\displaystyle \frac{EB}{EC} =\frac{AB}{AC}$

Пусть ЕВ = х, тогда ЕС = 25 - х

$\displaystyle \frac{x}{25-x} =\frac{30}{20}20x=750-30x50x=750\;\;\;\;\;|:50x=15$

⇒ EB = 15;  EC = 10.

2. Рассмотрим ΔКВЕ и ΔАВС.

Если две стороны треугольника пересекает прямая, параллельная третьей стороне, то она отсекает треугольник, подобный данному.

⇒ ΔКВЕ ~ ΔАВС

Запишем отношения сходственных сторон:

$\displaystyle \frac{BE}{BC}=\frac{KE}{AC} frac{15}{25} =\frac{KE}{20}\\ \\KE=\frac{15\cdot20}{25} KE=12$

3. Рассмотрим ΔАКЕ.

∠1 = ∠2 (условие)

∠3 = ∠2 (накрест лежащие при КЕ || AC и секущей АЕ)

⇒ ∠1 = ∠3

Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

⇒ АК = КЕ = 12

4. Рассмотрим АСЕК.

Периметр - сумма длин всех сторон.

Р(АСЕК) = АК + КЕ + ЕС + АС = 12 + 12 + 10 + 20 = 54

Периметр четырехугольника АСЕК равен 54 ед.