а) Доказательство:
По теореме о сумме углов в треугольнике:
∠С = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 40° - 100° = 40°.
Если ∠С = 40°, то ∠С = ∠A. Из этого следует, что △ABC - равнобедренный (BA = BC), что и требовалось доказать.
б) Решение:
Выше мы уже доказали, что △ABC - равнобедренный (BA = BC).
В равнобедренном треугольнике высота, проведённая из вершины угла, противоположного основанию (в данном случае из ∠B), является также его биссектрисой.
Биссектриса делит угол пополам. Отсюда ∠ABH = ∠CBH. А если ∠B = 100°, то ∠ABH = ∠CBH = 100° / 2 = 50°.
ответ: 50°.
Для розв'язання цього завдання, спочатку знайдемо довжину сторони СК.
За властивостями кола, дотична до кола є перпендикуляром до радіуса, проведеного до точки дотику. Тому, сторона СК є дотичною до кола, отже, вона є півдіаметром кола. Тобто, СК = радіус кола.
Так як коло вписане в рівнобедрений трикутник АВС, то радіус кола є відстанню від вершини трикутника до середини основи.
За властивостями рівнобедреного трикутника, висота (проведена з вершини трикутника до середини основи) є також медіаною і бісектрисою. Оскільки АВС - рівнобедрений трикутник, то медіана, бісектриса і висота з спільної вершини є одним і тим же відрізком.
Таким чином, СК є висотою трикутника АВС.
Знаючи, що трикутник АВС - рівнобедрений, а сторона АВ = 6 см, можемо знайти довжину висоти трикутника за теоремою Піфагора:
ВС² = АВ² - (АС/2)²
ВС² = 6² - (5/2)²
ВС² = 36 - (25/4)
ВС² = (144 - 25)/4
ВС² = 119/4
ВС = √(119/4)
Тепер знаходимо периметр трикутника СКЕ, додавши довжини сторін СК, КЕ та ЕС:
Периметр трикутника СКЕ = СК + КЕ + ЕС = ВС + ВС + АС = 2ВС + АС
Периметр трикутника СКЕ = 2 * √(119/4) + 5
Отже, периметр трикутника СКЕ дорівнює 2 * √(119/4) + 5 см.