Question

1) Основание прямой призмы – квадрат с площадью 25 см2. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если ее диагональное сечение - квадрат.
2) Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 10 см и образует с плоскостью основания пирамиды угол 45°.
а) Найдите высоту пирамиды.
б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
3) Основание прямого параллелепипеда - ромб с диагоналями 12 и 16 см. Большая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

Answer 1

1) Пусть сторона квадрата равна a. Тогда a^2 = 25 см^2, а значит a = 5 см. Так как диагональ квадрата является ребром призмы, то ее высота h = a = 5 см. Площадь боковой поверхности прямоугольной призмы равна P = 2ah = 50 см^2.

2) а) Так как боковое ребро образует с основанием угол 45°, то это означает, что боковая грань пирамиды является прямоугольным треугольником со сторонами 10, 10 и 10√2 см (по теореме Пифагора). Высота пирамиды h равна катету прямоугольного треугольника, противолежащему углу 45°, то есть h = 10 см.

б) Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды равна P = (1/2)pl, где p - периметр основания, l - длина бокового ребра. Так как основание пирамиды правильный четырехугольник, то его периметр равен 4a, где a - длина стороны основания. Так как угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 45°, то длина бокового ребра равна a/√2. Следовательно, p = 4a = 40 см, l = a/√2 = 5√2 см. Подставляя значения в формулу, получаем P = 50 см^2.

3) Пусть диагонали ромба равны d1 и d2. Тогда d1 = 16 см, d2 = 12 см. Так как большая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45°, то это означает, что меньшая диагональ параллелепипеда равна d2/√2 = 6√2 см. Следовательно, длина стороны основания параллелепипеда равна a = d1/2 = 8 см. Высота параллелепипеда равна h = d2/2 = 6 см. Площадь полной поверхности параллелепипеда равна S = 2(ab + ac + bc) = 2(8*6 + 8*16 + 6*16) = 512 см^2.