Диагональ параллелограмма делит его диагональ параллелограмма делит его угл в отношении 1: 3 найти углы пар-грамма если длины его сторон относятся как1: 2
Диагональ параллелограмма делит его на 2 равных треугольника... углы в этих треугольниках равны (а), (3а) и (180-4а) в треугольнике против бОльшей стороны лежит бОльший угол... по т.синусов можно записать: 2х / sin(3a) = x / sin(a) sin(3a) = 2*sin(a) 3*sin(a) - 4*(sin(a))^3 = 2*sin(a) 4*(sin(a))^3 = sin(a) (можно сократить на sin(a), т.к. он нулю не равен...) (sin(a))^2 = 1/4 sin(a) = 1/2 (отрицательный синус --- угол вне треугольника...))) один угол треугольника = 30 градусов, второй угол треугольника = 3*30 = 90 градусов один угол параллелограмма = (180-4*30) = 60 градусов, второй угол параллелограмма = 180-60 = 120 градусов ((половина параллелограмма --- прямоугольный треугольник с углом в 30 градусов и катет против угла в 30 градусов действительно равен половине гипотенузы-половине второй стороны параллелограмма)))
Центр координат поместим в точку А , ось X в сторону точки F , ось Y в сторону точки С , ось Z в сторону точки А1. тогда координаты интересующих нас точек будут : А(0;0;0) А1(0;0;1) С(0;√3;0) В1(-0.5;√3/2;1) уравнение плоскости А1В1С ax+by+cz+d=0 подставим в него координаты точек А1 С и В1
с+d=0 √3b+d=0 -0.5a+√3/2b+c+d=0
положим d=1, тогда с=-1 b=-1/√3 a=-1/√3 нормализованное уравнение плоскости . к= √(1/3+1/3+1)=√(5/3) -1/√5x-1/√5y-√(3/5)z+√(3/5)=0 подставим координаты точки А(0;0;0) в нормализованное уравнение l =| √(3/5) |= √(3/5) - это искомое расстояние до плоскости.
Половина высоты относится к радиусу вписанной окружности основания как tg(a) tg(a) = h/2/r r = h/(2tg(a)) В равностороннем треугольнике центр вписанной окружности - это точка пересечения медиан, биссектрис и высот. Медианы делятся точкой пересечения как 2 к 1 начиная от угла, и которого построена медиана. Поэтому полная длина медианы равна 3r Рассмотрим прямоугольный треугольник, равный половине основания. Обозначим сторону основания x. Тогда по Пифагору x² = (x/2)² + (3r)² 3/4*x² = 9r² x² = 12r² x = 2√3*r = 2√3*h/(2tg(a)) = h√3/tg(a) Площадь основания S = 1/2*x*3r = 1/2*h√3/tg(a)*h/(2tg(a)) = √3/4*(h/tg(a))² И объём V = 1/3*S*h = 1/3*√3/4*(h/tg(a))²*h = 1/(4√3)*h³/(tg(a))² на картинке слева сечение пирамиды в вертикальной плоскости, справа - основание.
углы в этих треугольниках равны (а), (3а) и (180-4а)
в треугольнике против бОльшей стороны лежит бОльший угол...
по т.синусов можно записать: 2х / sin(3a) = x / sin(a)
sin(3a) = 2*sin(a)
3*sin(a) - 4*(sin(a))^3 = 2*sin(a)
4*(sin(a))^3 = sin(a) (можно сократить на sin(a), т.к. он нулю не равен...)
(sin(a))^2 = 1/4
sin(a) = 1/2 (отрицательный синус --- угол вне треугольника...)))
один угол треугольника = 30 градусов,
второй угол треугольника = 3*30 = 90 градусов
один угол параллелограмма = (180-4*30) = 60 градусов,
второй угол параллелограмма = 180-60 = 120 градусов
((половина параллелограмма --- прямоугольный треугольник с углом в 30 градусов и катет против угла в 30 градусов действительно равен половине гипотенузы-половине второй стороны параллелограмма)))