ответ: два решения (одно для остроугольного треугольника, другое для тупоугольного...)
1) Р = 256 (см)
2) Р = 56V21 (см)
Объяснение: треугольник АВС, основание ВС=2а (чтобы не возиться с дробями); АВ=АС=b
P = 2a+2b = 2(a+b)
а=b*cos(B); по т.синусов: b=2R*sin(B)
S = 2a*h/2 = ah; h = b*sin(B)
S = P*r/2 = (a+b)*r
(a+b)*r = ab*sin(B)
b(1+cos(B))*r = b*b*sin(B)*cos(B)
(1+cos(B))*r = 2R*sin^2(B)*cos(B)
r/(2R) = (1-cos(B))*cos(B)
обозначим х=cos(B)
x^2 - x + (6/25) = 0
(5x)^2 - 5*(5x) + 6 = 0
по т.Виета корни (3) и (2)
5х=3 ---> х = 0.6
---> sin(B) = V(1-0.36) = 0.8 или
5х=2 ---> х = 0.4
---> sin(B) = V(1-0.16) = 0.2V21
b = 2*50*0.8 = 80 или
b = 2*50*0.2V21 = 20V21
a = 80*0.6 = 48 или
а = 20V21*0.4 = 8V21
P = 2*(80+48) = 128*2 = 256 или
Р = 2*(20+8)*V21 = 56V21
Если прямая параллельна плоскости и содержится в другой плоскости, пересекающей первую, то она параллельна линии пересечения этих плоскостей.
В данном случае плоскость, которой принадлежит ∆ АВС, проходит через АВ, параллельную другой плоскости и пересекает её, поэтому линия пересечения MN этих плоскостей параллельна АВ.
Поскольку плоскость, параллельная АВ, пересекает не сами стороны, а продолжения сторон АС и ВС, то она проходит вне треугольника. (см. рис. 1 приложения)
.Соответственные углы при пересечении параллельных прямых АВ и MN секущими АМ и ВN равны. ⇒ ∆ АВС~∆ СMN ( их углы равны). По условию MC : AC = 3 : 7, значит, ∆ MNC меньше сходственных сторон ∆ АВС, и МN пересекает плоскость, в которой лежит ∆ АВС, по другую сторону от т.С. (см. рисунок)
Примем коэффициент отношения МС:АС=а.
Тогда АС=7а, СМ=3а, а АМ=7а+3а=10 а.
Из подобия следует отношение:
СМ:АС=MN:AB
3a:7a=MN:7⇒
7 MN=21
MN=21:7=3 (ед. длины)
----------
Если MN проходит по ту же сторону от С, что АВ, то в условии ошибка и отношение МС:АС не может быть 3:7, но может быть МА:АС=3:7
Тогда МС:АС=3:7, откуда МС=10 а (см. рис. 2)⇒
MN:AB=MC:AC
MN:7=10:7⇒
MN=10 ( ед.длины)