Question

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна с. найдите сумму квадратов медиан.

Answer 1

По свойствам прямоугольного треугольника, медиана, проведенная к гипотенузе равняется половине гипотенузы, следовательно:
$m_c=\frac{1}{2}c\\m^2_c=\frac{1}{4}c^2$
Две других медианы вычислим по теореме Пифагора:
$m^2_b=a^2+\frac{1}{4}b^2\\ m^2_a=\frac{1}{4}a^2+b^2$
Таким образом, сумма квадратов медиан будет равна:
$m^2_a+m^2_b+m^2_c=\frac{1}{4}a^2+b^2+a^2+\frac{1}{4}b^2+\frac{1}{4}c^2=\\=c^2+\frac{1}{4}*(a^2+b^2)+\frac{1}{4}c^2=c^2+\frac{1}{4}b^2+\frac{1}{4}b^2=1\frac{1}{2}c^2.$