В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, поэтому радиус описанной окружности равен 2,5х. Медиана, проведенная к гипотенузе из вершины прямого угла, делит гипотенузу пополам, т.е. попадает в центр описанной окружности. Зная, что ее длина равна 6, можем найти х:
Периметр треугольника равен 3х+4х+5х=12х, т.е. 12*2,4=28,8
Проведем МА⊥α и МВ⊥β. МА = 12 - расстояние от М до α, МВ = 16 - расстояние от М до β.
Пусть плоскость АМВ пересекает ребро двугранного угла - прямую а - в точке С. МА⊥α, а⊂α, значит МА⊥а. МВ⊥β, а⊂β, значит МВ⊥а. Так как прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости АМВ, то она перпендикулярна этой плоскости, следовательно она перпендикулярна каждой прямой, лежащей в этой плоскости, ⇒ а⊥АС, а⊥ВС, ⇒∠АСВ = 90° - линейный угол двугранного угла; а⊥МС, ⇒ МС - искомое расстояние.
АД - биссектиса угла А в тр-ке АВС. Если уг.BAD = уг.САО=26°, то
уг.А или уг. ВАС = или уг.САН = 52°.
В прямоугольном тр-ке АСН с прямым углом АНС известен угол САН = 52°, тогда
уг. АСН = уг.АНС - уг. САН = 90° - 52°= 38°.
В тр-ке АОС известны два угла: уг.САО = 26° и уг.АСО = уг.АСН = 38°.
Тогда искомый угол АОС равен
уг.АОС = 180° - (уг.САО + уг.АСО) = 180° - (26° + 38°) = 116°
ответ: угол АОС = 116°