Question

Кокружности, вписанной в равнобедренный треугольник авс, проведена касательная, которая параллельна основанию ав и пересекает боковые стороны ас и ав в точках m и n соответственно. найдите площадь треугольника авс, если mn=20, cm=26.

Answer 1

Касательная, которая параллельна основанию АВ и пересекает боковые стороны АС и АВ в точках M и N соответственно, образует подобный треугольник СМN.
Высота его $h= \sqrt{26^2-( \frac{20}{2} )^2} = \sqrt{676-100} =24$.
Тогда тангенс половины угла С равен 10/24 = 5/12.
Для треугольника СМN окружность, вписанная в равнобедренный треугольник АВС, будет вневписанной. Её радиус равен:
$r=ptg( \frac{C}{2} )$, где р - полупериметр треугольника СМN.
r = ((2*26+20)/2) * 5/12 = 36*5/12 = 15.
Высота треугольника АВС равна Н = 24+2*15 = 54.
Основание равно 2Htg(C/2) = 2*54*5/12 = 45/
Площадь треугольника АВС равна 1/2*54*45 = 1215.