Question

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а, боковое ребро образует с её основанием угол 45 градус. найти обьём пирамиды

Answer 1

Т.к. SABC-правильная треугольная пирамида, в основании правильный треугольник
V=1/3*Sосн.*H
Sосн.=(а²√3)/4 (эта формула площади только для правильного треугольника)
Если вокруг треугольника описать окружность, то мы найдем радиус
R=$\frac{a}{ \sqrt{3} }$=AO
угол SAO=45 градусов, cosA=$\frac{AO}{AS}$, AS=$\frac{AO}{cos45}$=$\frac{a}{ \sqrt{3} }$/$\frac{ \sqrt{2} }{2}$=$\frac{a*2}{ \sqrt{3}* \sqrt{2} }$=$\frac{2a}{ \sqrt{6} }$
OS-высота  пирамиды и т.к. она правильная то попадает в центр треугольника и центр описанной окружности
треугольник ASO-прямоугольный, то по т. Пифагора OS=$\sqrt{ (\frac{2a}{ \sqrt{6} }) ^{2}-( \frac{a}{ \sqrt{3} }) ^{2} } = \sqrt{ \frac{4a ^{2} }{6}- \frac{ a^{2} }{3} }= \sqrt{ \frac{2a ^{2} }{3}- \frac{a ^{2} }{3} }= \sqrt{ \frac{a ^{2} }{3} }= \frac{a}{ \sqrt{3} }$
V=$\frac{1}{3}* \frac{ a^{2} \sqrt{3} }{4} * \frac{a}{ \sqrt{3} } = \frac{a ^{3} }{12}$