13 см.
Объяснение:
Дано: ТВРК - трапеция, ∠Т=40°, ∠К=50°, АВ=АР, ТС=СК, ВР=10 см, ТК=16 см.
Найти АС.
Если сумма углов в трапеции при основании равна 90 градусов, то длина отрезка, соединяющего середины оснований , равна половине разности длин оснований.
Докажем это.
Проведем АМ║ВТ и АЕ║РК
∠Т+∠К=40+50=90°, значит АС=1/2(ТК-ВР)=1/2(16-10)=1/2 * 6 = 3 см.
АВТМ - параллелограмм по построению, ВА=ТМ.
АЕКР - параллелограмм по построению, АР=ЕК.
По условию АВ=АР=1/2 ВР, значит, АВ=АР=ТМ=ЕК=1/2ВР.
ТК=ТМ+МС+СЕ+ЕК
МЕ=ТК-(ТМ+ЕК)
ТМ=ЕК=1/2ВР
МЕ=ТК-(ТМ+ЕК)=ТК-(1/2ВР+1/2ВР)=ТК-ВР
Рассмотрим ΔАЕМ. ∠АЕМ=∠РКТ как соответственные углы при ВР║ТК и секущей АС.
т.к. ∠ВТК+∠РКТ=40+50=90°, то и ∠АМЕ+∠АЕМ=90°
а т.к. сумма углов треугольника составляет 180°, то ∠МАЕ=180-90=90°, т.е. ΔМАЕ - прямоугольный
По условию ТС=СК, по построению ТС=ТМ+МС, СК+СЕ+ЕК, следовательно ТМ+МС=СЕ+ЕК.
Но ТМ=ЕК, значит МС=СЕ.
По определению медианы треугольника АС - медиана, выходящая из прямого угла. По свойству медианы, проведенной к гипотенузе, АС=1/2МЕ.
МЕ=ТК-ВР
Подставим это значение в формулу для АС
АС=(ТК-ВР)/2=1/2(16-10)=1/2 * 6 = 3 см.
ответ: 3 см.
Поправка: внутри угла взята точка Д.
треугольник АВД = треугольнику АСД (прямоугольные, по гипотенузе - общая - и острому углу )
Значит, угол ВАД=ДАС, т.е. АД - биссектриса