Вромбе abcd о - точка пересечения диагоналей, e и f - середины сторон bc и dc. докажите, что ef=bo и ef перпендикулярно ac. помимо доказательств, еще нужно дано и т.д))
ДАНО: АВСD – ромб ; точка О – точка пересечения диагоналей AC и BD ; CF = FD ; CE = EB.
ДОКАЗАТЬ: ЕF = BO , EF перпендикулярен АС. ________________________
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
1) Рассмотрим ∆ BCD: CF = FD , CE = EB → поэтому EF - средняя линия. По свойству средней линии: Средняя линия параллельна третьей стороне, то есть BD и равна её половине → EF || BD и EF = 1/2 × BD
По свойству ромба: Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам → ВD перпендикулярен АС ; ВО = ОD = 1/2 × BD ; AO = OC = 1/2 × AC
Значит, EF = 1/2 × BD = 1/2 × 2 × BO = BO
2) Как было сказано вышe: EF || BD, но AC перпендикулярен BD. Если одна из двух параллельных прямых a или b перпендикулярна третьей прямой c, то и другая прямая a или b перпендикулярна этой же прямой c.
Из этого следует, что EF перпендикулярен AC, что и требовалось доказать.
Допустим, прямая не пересекает плоскость бета, а параллельна ей. Тогда все точки этой прямой должны находиться на равном удалении от плоскости бета (иначе один из концов пряой приблизится к плоскости бета и пересечет ее) . Одна точка, точка пересечения прямой с плоскостью альфа, находится на том же расстоянии от плоскости бета, что и плоскость альфа. Следовательно все остальные точки прямой находятся на таком же расстоянии, т. е. лежат в плоскости альфа, значит вся прямая долна лежать в плоскости альфа. Но по условию прямая не лежит в плоскости альфа, а пересекает ее. Таким образом она не может быть параллельна плоскости бета и пересечется с ней.
2Проведем в плоскости α две пересекающиеся прямые a и b, а через точку А проведем прямые a1 и b1, соответственно параллельные прямым а и b. Рассмотрим плоскость β, проходящую через прямые a1 и b1. Плоскость β — искомая, так как она проходит через точку A и по признаку параллельности двух плоскостей параллельна плоскости α.Докажем теперь, что β — единственная плоскость, проходящая через точку А и параллельная плоскости &alpha. В самом деле, любая другая плоскость, проходящая через точку А, пересекает плоскость β, поэтому пересекает и параллельную ей плоскость a
Допустим, у нас четырехугольная пирамида, в основании которой лежит квадрат ABCD. Высота - SO. Точка O - точка пересечения диагоналей.
1. Основание - квадрат. Площадь квадрата можно найти по формуле , где d-диагональ. см
2. Диагонали в квадрате равны и точкой пересечения делятся пополам - OA=OB=OC=OD. Находим любой из перечисленных отрезков. 10/2=5 см
3. Рассмотрим треугольник SOC - прямоугольный, т.к. SO - высота. Мы знаем боковую грань (гипотенуза) и катет (половина диагонали). Можем найти второй катет, т.е. высоту. По теореме Пифагора: SC²=SO²+OC² 13²=SO²+5² SO²=169-25 SO²=144 SO=12 см
, где d-диагональ.
см
ДОКАЗАТЬ: ЕF = BO , EF перпендикулярен АС.
________________________
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
1) Рассмотрим ∆ BCD:
CF = FD , CE = EB → поэтому EF - средняя линия. По свойству средней линии:
Средняя линия параллельна третьей стороне, то есть BD и равна её половине →
EF || BD и EF = 1/2 × BD
По свойству ромба:
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам →
ВD перпендикулярен АС ; ВО = ОD = 1/2 × BD ; AO = OC = 1/2 × AC
Значит, EF = 1/2 × BD = 1/2 × 2 × BO = BO
2) Как было сказано вышe:
EF || BD, но AC перпендикулярен BD.
Если одна из двух параллельных прямых a или b перпендикулярна третьей прямой c, то и другая прямая a или b перпендикулярна этой же прямой c.
Из этого следует, что EF перпендикулярен AC, что и требовалось доказать.