В треугольнике ABC с угла B Проведена прямая BD. Найдите отношение P(∆BDC)/P(∆ABC), если ∠ABC=∠BDC, AB=8, AC=12, DC=3. Надо найти сторону BD и периметры ∆ ABC и ∆ BDC .
ответ: 1 : 2 , 4 , 26 , 13 .
Объяснение:
ΔCDB ~ ΔCBA ( по первому признаку подобия) и почти конец
∠BDC= ∠ABC ← условие
∠C _общий угол
BC/AC =DC/BC = BD / AB =P(∆BDC)/P(∆ABC)
BC² =AC *DC=12*3 =36 ⇒ BC=6 ; P(∆BDC)/P(∆ABC) =BC/AC=6/12 =1: 2
BC/AC = BD / AB ⇒ BD =(BC/AC)*ABС =(6/12)*8 = 4 ;
P(∆ ABC) =AB++AC+BC =8+12+6 =26 ;
P(∆BDC) = (1/2)*P(∆ABC) =(1/2)*26 =13 или 3+4+6 =13 .
5*√(3)/2=2,5*√(3) и 7*√(3)/2=3,5*√(3). Проведем ось симметрии (ось вращения) пирамиды О1О. Отметим, что точки О1 и О являются центрами треугольников (центрами описанных вокруг треугольников окружностей) и находятся в точках пересечения соответствующих медиан. Поскольку медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1 (или 2/3:1/3), то A1O1=2,5*√(3)*(2/3)=(5/3)*√(3)=(10/6)*√(3),
O1D1=2,5*√(3)*(1/3)=(5/6)*√(3), AO=5,5*√(3)*(2/3)=(7/3)*√(3)=(14/6)*√(3), OD=3,5*√(3)*(1/3)=(7/6)*√(3).
Рассечем пирамиду вертикальной плоскостью, проходящей через A1D1 и AD. В сечении получим неравнобочную трапециюAA1D1D. AA1 - это боковое ребро пирамиды, и угол между нею и большим основанием трапеции равен 45° (это угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды). DD1 - это апофема боковой грани пирамиды. Основания трапеции - это высоты оснований, и они равны соответственно 2,5*√(3) и 7*√(3)/2=3,5*√(3). Проекция оси симметрии (отрезок О1О) делит нашу трапецию на две прямоугольные трапеции АА1О1О и ОО1D1D. В трапеции АА1О1О из вершины А1 опусти перпендикуляр (высоту) А1Е на основание АО. Она разобьет трапецию АА1О1О на прямоугольник ЕА1О1О и прямоугольный треугольник АА1Е, в котором AE=AO-EO=AO-A1O1=(14/6)*√(3)-(10/6)*√(3)=(4/6)*√(3). Так как острый угол треугольника АА1Е равен 45°, то треугольник равнобедренный и А1Е, а значит и О1О=(4/6)*√(3).
В трапеции ОО1D1D из вершины D1 опусти перпендикуляр (высоту) D1F на основание ОD. Она разобьет трапецию ОО1D1D на прямоугольник ОО1D1F и прямоугольный треугольник FD1D, в котором FD=OD-OF=OD-O1D1=(7/6)*√(3)-(5/6)*√(3)=(2/6)*√(3).
По теореме Пифагора вычисляем, что D1D=√(5/3).
Поскольку боковые грани пирамиды представляют собой трапеции с основаниями 5 и 7 и высотой (равна апофеме боковой грани, т.е D1D), то площадь одной боковой грани равна ((5+7)/2)*√(5/3)=6*√(5/3), а вся площадь боковой поверхности 3*6*√(5/3)=18*√(5/3)=6*√(15).