Question

1) апофема правильной треугольной пирамиды равна 4 см, а двугранный угол при основании равен 60 градусов. найти объем пирамиды. 2)в цилиндр вписана призма. основанием призмы служит прямоугольный треугольник, катет которого равен 2а, а прилежащий угол равен 30 градусов. диагональ большей боковой грани призмы составляет с плоскостью её основания угол 45 градусов. найдите объем цилиндра.

Answer 1

1) Проекция вершины на основание есть радиус вписанной окружности. Из прямоугольного треугольника образованным апофемой и радиусом      
 $4=\frac{H}{sin60}\\ H=2\sqrt{3}\\ r=\sqrt{4^2-(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{16-12}=2\\ r=\frac{\sqrt{3}a}{6}=2\\ S=3*\sqrt{3}*4=12\sqrt{3}\\ V=\frac{SH}{3}=\frac{2\sqrt{3}*12\sqrt{3}}{3}=24$
2)Так как у нас призма прямоугольная пусть основание равна $ABC$ , то тогда гипотенуза треугольника пусть $AC$ будет являться диаметром основания цилиндра (это следствие из известной теоремы что у прямоугольного треугольника гипотенуза будет являться диаметром). Тогда диаметр будет равняться $d=AC=\frac{2a}{sin30}=4a\\$     . По условию большая диагональ грани это есть грань гипотенузы. Тогда если один угол равен 45 гр , то треугольника образованный диагональю и высотой цилиндра  является равнобедренным  , следовательно    $4a=H$ где $H$ - высота      . 
 Тогда площадь основания равна  $S=\pi*(2a)^2=4a^2*\pi\\ V=SH=4a^2*\pi*4a=16a^3\pi$