Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен разности суммы катетов и гипотенузы, делённой на два, т. е.
r=(а+в-с):2, где а и в - катеты, с - гипотенуза.
Полезно эту формулу запомнить, не раз еще пригодится.
Чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо найти стороны треугольника, а для этого нужна его высота.
S=h*c:2
h=2S:c, где с - основание треугольника ( здесь - гипотенуза).
18:6=3 см
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой)
Найдем эти отрезки:
3²= x *(6-x)
9=6х-х²
х²-6х+9=0
Решив это квадратное уравнение, найдем два одинаковых корня =3
Следовательно, отрезки, на которые высота делит гипотенузу, равны, и треугольник - равнобедренный.
Высота равна 3, половина гипотенузы=3.
Из прямоугольного треугольника с катетами 3 и 3 найдем боковую сторону ( катет исходного треугольника)
х²=3²+3²=18
х= √18=3√2
Катеты равны 3√2
Повторим:
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен разности суммы катетов и гипотенузы, делённой на два, т. е.
r=(а+в-с):2, где а и в - катеты, с - гипотенуза.
r=(2*3√2-6):2=(6√2-6):2=6(√2-1):2=3(√2-1)
Вся трудность заключается в нахождении большего основания.
Оно равно сумме меньшего основания и двух катетов прямоугольных треугольников, образованных боковой стороной и высотой трапеции (треугольники равны между собой по гипотенузе и катету, а значит и требуемые катеты тоже равны).
Найдем катет.
По теореме Пифагора:
4^2 + x^2 = 5^2.
16 + х^2 = 25.
x^2 = 9
x = 3.
Следовательно, требуемый катет = 3 см. Таких треугольников два, как уже говорилось.
Большая сторона трапеции = 6 + 3 + 3 = 12 см.
Теперь найдем площадь трапеции: полусумма оснований на высоту.
(6+12)/2 * 4 = 36 см^2
2) Угол между наклонной прямой и плоскостью это угол между наклонной и ее проекцией на плоскость. То есть надо найти угол МСН. МН - высота треугольника АВМ. Это равнобедренный треугольник, значит МН - высота и медиана. Тогда по Пифагору МН=√(МВ²-ВН²), или МН=√(24-4)=2√5. НС=√(ВС²+ВН²), или НС=√(16+4)=2√5. Тогда tg(<МСН)=МН/НС или tg(<МСН)=2√5/2√5=1.
ответ: угол равен 45°.