Объяснение:
1. В прямоугольных треугольниках Δ ADN и Δ DFC ∠A = ∠ C по свойству параллелограмма. ⇒ Треугольники подобны по первому признаку. На основе пропорциональности длин сходственных сторон имеем пропорцию:
AD/DC = DN/DF/
DF = 3.5*4/5 = 2.8
2. В треугольниках CFM и CAB ∠F = ∠ A, ∠ M = ∠ B как соответственные при FM║AB. ⇒ Треугольники подобны по первому признаку.
AC/CF = AB / FM
FM = 18*30/(18+27) = 12
AC/CF = CB/CM
CB = 45*15/18=37.5
ВМ = СВ - СМ = 37.5 - 15 = 22,5
3. В треугольниках АВС и ВСD ∠ C общий, ∠В = ∠D по условию задачи ⇒ Треугольники подобны по первому признаку.
АВ/AС = BD / BC
AC = 9*15.6/12 = 11.7
4. В прямоугольных треугольниках АВС и АМF ∠А общий. ⇒ Треугольники подобны по первому признаку.
АС/ВС = AF/MF
АС = 24*9/12 = 18
АВ/ВС = АМ/MF.
AM найдем по теореме Пифагора = √(9²+12²) = 15
АВ = 24*15/12=30
5+2 = 7
Объяснение:
Задача на теорему Фалеса.
Обозначим пересечение BM и АС как точку О. Так как углы АОМ и ВОЕ - вертикальные, они равны.
Следовательно, в треугольнике ВОЕ углы при основании равны, делаем вывод, что он равнобедренный, из чего следует, что ВЕ = ВО = 5.
Далее, собственно, для нахождения длины медианы ВМ, нам остается найти длину отрезка ОМ и прибавить её значение к 5.
Теперь, как показано на рисунке, проведем через точку М прямую, параллельную АЕ. Теперь по теореме Фалеса получается, что, так как наша новая прямая делит и параллельная ей прямая АЕ делят сторону угла С (то есть АС), на равные отрезки, то и вторую его сторону (то есть ВС), они тоже будут делить на равные отрезки, следовательно,
ЕN = CN = 4/2 = 2.
Далее, так как углы ВОЕ и ВМN, а также углы BEO и BNM попарно соответственные, все они равны. А углы МОЕ и СЕО являются смежными с равными углами, следовательно, и они равны. Таким образом у нас получается равнобедренная трапеция МОЕN, в которой боковые стороны ОМ и EN равны.
Таким образом, ОМ = 2, а искомая сторона ВМ = 5 +2 = 7.
- откладываем АВ=6 (любые 6 равных отрезков);
- проводим перпендикуляр ВВ1 на горизонтальную сторону угла;
ВВ1 и будет одной из высот ещё не построенного треугольника АВС;
- поскольку треугольник АВ1В равнобедренный прямоугольный, то его медиана B1C2, проведённая из вершины прямого угла и задаёт направление будущей второй высоты ∆АВС, проведённой к стороне АВ. Заодно по пути заметим, что длина этой медианы равна 3.Где же искать вершину С?
Пока нам известно, что точка Н где-то на высоте ВВ1, направление СН перпендикулярно прямой АВ, СН=3 ( как и отрезок В1С2). Где Н? Где С?
Построив параллелограмм В1С2НС, мы и обнаружим вершину С и вторую высоту (СС1) треугольника АВС.
Поделив медиану С2С на три равные части, легко отыскать точку М.
Из точек С2, М, К опустим перпендикуляры на сторону АС. Построим треугольник АКС, площадь которого требуется найти в задаче.
ММ1:С2D = 2:3
ММ1 = C2D = ∙ 1,5 =
C2D = HB1 = B1C = 1,5
Средняя линия КК1 трапеции М1МНВ1 равна полусумме ММ1 и НВ1
КК1 = 0,5 × (1,5
АС = АВ1 + В1С = 31,5
S∆АКС = 0,5×АС×КК1 = 0,5×4,5
ответ: 5,625
Решить уравнение
(х + 4)(х + 5)3 = (х + 5)(х + 4)3
Решение.
(х + 4)(х + 5)3 - (х + 5)(х + 4)3= 0;
(х + 4)(х + 5)((х + 5)2 – (х + 4)2) = 0;
(х + 4)(х + 5)(х + 5 – х – 4)(х + 5 + х + 4) = 0;
(х + 4)(х + 5)(2х + 9) = 0.
Произведение двух или нескольких выражений равно нулю, если значение хотя бы одного из этих выражений равно нулю, а другие при этом не теряют смысла.
Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений:
ответ: -5; -4,5; -4.
Один из моих учеников предложил другой путь.
(х + 4)(х + 5)3 = (х + 5)(х + 4)3
Легко видеть, что числа -4 и -5 являются решениями данного уравнения:
(-4 + 4)(-4 + 5)3 = (-4 + 5)(-4 + 4)3 - верное равенство;
(-5 +4)(-5 + 5)3 = (-5 + 5)(-5 +4)3 - тоже верное равенство.
Осталось проверить, есть ли решения среди значений значений х, отличных от -4 и -5.
Если обе части этого уравнения разделить на одно и то же число (x+4)(x+5), не равное нулю, то получим уравнение, равносильное данному на множестве чисел, не равных ни -5, ни -4.
(х + 5)2 = (х +4)2
Квадраты чисел равны в том и только в том случае, если эти числа либо равны, либо противоположны.
х + 5 = х + 4 или х + 5 = -х -4
или х = -4,5
ответ: -5; -4,5; -4.