24 м² и 30°.
Объяснение:
Дано:
АВСА1В1С1-правильная усеченная пирамида
АВ=ВС=АС=8 см
А1В1=В1С1=А1С1=5 см
OO1= 3 см
Найти: площадь сечения и угол между ним и нижним основанием
1) СА1В - искомое сечение, т.к. точки А1С и А1В находятся в одних плоскостях.
2)Ось правильной усеченной пирамиды совпадает с осью соответствующей полной пирамиды, поэтому OO1 является высотой усеченной пирамиды. О1 — центр окружности, описанной около треугольника А1В1С1, О - центр окружности, вписанной в треугольник АВС.
Формула для радиуса описанной окружности около равностороннего треугольника:
R=а*
Формула для радиуса вписанной окружности в равносторонний треугольник:
r= а*
R=А1О1=
r=ОН=
=
Проведем АН⊥ВС в ΔАВС. ОО1⊥(АВС)⇒ОО1⊥АН.
По теореме о трех перпендикулярах А1Н⊥ВС в ΔСА1В.
Угол ∠А1НА - линейный угол искомого двугранного угла.
Рассмотрим ΔА1О1К и ΔНОК.
∠А1О1К=∠НОК=90°, ∠А1КО1=∠НКО как вертикальные.
⇒ ΔА1О1К подобен ΔНОК ( по двум углам).
Из подобия Δ следует:
А1О1:ОН=О1К:КО
А1О1*КО=ОН*О1К
Пусть О1К= х, тогда КО=(3-х):
* (3-х) =
5√3(3-х)=4√3*х
9√3х=15√3
х=5/3
О1К = 5/3,
КО=3-5/3=4/3
ΔА1О1К(∠О1=90°): по т.Пифагора
А1К=√(А1О1²+О1К²)= √(75/9+25/9)=√(100/9)=10/3
ΔОКН(∠О=90°): по т.Пифагора
КН=√(ОН²+КО²)=√(16/9+48/9)=8/3
А1Н=А1К+КН=10/3+8/3=18/3=6 см
Площадь искомого сечения это площадь ΔСА1В:
S = 1/2 * ВС* А1Н = 1/2 * 8 * 6 = 24 см²
3) Рассмотрим ΔКОН(∠О=90°)
tg ∠KHO = KO/OH = 
: = 
Тогда ∠KHO = 30°.
Т.к. ∠А1НА = ∠KHO, то ∠А1НА=30°
Медиана, проведённая к большему катету, равна 5√13 ≈ 18,03; гипотенуза делится точкой касания с вписанной окружностью на отрезки длиной 15 и 10.
(см. рисунок - в прикреплении)
Объяснение:
1) Медиана АМ, проведённая к большему катету ВС, делит его на 2 равных отрезка СМ = МВ = 10, и, таким образом, является гипотенузой в прямоугольном треугольнике МСА с катетами МС = 10 и АС = 15. Согласно теореме Пифагора, гипотенуза АМ равна корню квадратному из суммы квадратов катетов:
АМ = √(МС² + АС²) = √(10² + 15²) = √(100 + 225) = √325 = √(25 · 13) = 5√13 ≈ 5 · 3,6056 ≈ 18,03
2) Радиус r окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, рассчитывается по формуле:
r = (a + b - c) : 2,
где а и b - катеты прямоугольного треугольника, с - его гипотенуза.
Гипотенуза АВ прямоугольного Δ АВС равна:
АВ = √(АС² + ВС²) = √(15²+20²) = √(225 + 400) = √625 = 25
Таким образом, радиус окружности, вписанной в Δ АВС, равен:
r = (АС + ВС - АВ) : 2 = (15 + 20 - 25) : 2 = (35 - 25) : 2 = 10 : 2 = 5
3) Вписанная окружность касается катета АС в точке D, а гипотенузы АВ в точке Е. Так как CD = r = 5, то АD = АС - СD = 15 - 5 = 10.
Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны.
Следовательно, AD = AE = 10
4) ВЕ = АВ - АЕ = 25 - 10 = 15
Таким образом, гипотенуза АВ делится точкой касания Е с вписанной окружностью на отрезки ВЕ длиной 15 и АЕ длиной 10.
ответ: медиана, проведённая к большему катету, равна 5√13 ≈ 18,03; гипотенуза делится точкой касания с вписанной окружностью на отрезки длиной 15 и 10.
9х=180
х=20
1)20*2=40
ответ 40