Внешний угол при вершине треугольника равен сумме внутренних углов треугольника, не смежных с ним. рассмотрим треугольник abc. угол свн - внешний угол при вершине, противоположной основанию. вм- биссектриса этого угла. она делит угол на два равных угла 1 и 2. так как внешний угол при в равен сумме внутренних углов а и с, а треугольник авс равнобедренный и углы при его основании равны между собой, все выделенные углы также равны между собой. углы под номером 1 -равные соответственные при прямых ас и вми секущей авуглы под номером 2 - равные накрестлежащие при прямых ас и вми секущей всесли при пересечении двух прямых третьей внутренние накрестлежащие углы равны, то прямые параллельны.
Треугольники AOD и COB подобны. Далее, очень легко построить треугольник, подобный этим треугольникам, площадь которого равна площади трапеции. Из точки C проводится прямая CE II BD до пересечения с продолжением AD в точке E. Треугольник ACE имеет ту же высоту, что и трапеция (собственно, у них общая высота - расстояние от точки C до AD). Поскольку DBCE - параллелограмм, то AE = AD + DE = AD + BC; То есть площадь треугольника ACE равна площади S трапеции ABCD; Треугольник ACE подобен AOD и COB по построению (у них, к примеру, равны все углы). Площади подобных треугольников пропорциональны квадратам соответственных сторон. То есть СУЩЕСТВУЕТ такое число k, что AD = k*√25; BC = k*√16; AD + BC = k*√S; Отсюда √S = √25 + √16 = 9; S = 81;
Решение: Рассм. треуг-к АВС. угол ВАС= углу ВСА, а АЕ=DС, т.к. по свойствам равнобедренного треуг-ка углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, равны между собой. Также равны биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из этих углов. Т.к. АЕ и ДС - биссектрисы, то они делят угол пополам и угол ЕАС= углу ВАЕ, а угол ВСD= углу DСА.угол ЕАС= углу ВАЕ= углу ВСD= углу DСА(по св-вам равноб.треуг) Рассм треуг-ки АDС и CEA. Сторона АС-общая, АЕ=DС, угол DСА= углу ЕАС. По первому признаку равенства треугольников треуг-к АDС = треуг-ку CEA.