Question

Впрямоугольном треугольнике вневписанная окружность касается гипотенузы и продолжения катетов. радиус вневписанной окружности равен 10 см, а вписанной - 2 см. найдите гипотенузу треугольника.

Answer 1

 По формуле радиус вневписанной окружности равен $r_{c}=\frac{S}{p-c}$ , пусть катеты равны $a,b$, гипотенуза $c$.
Радиус вписанной окружности тогда равен $r=\frac{a+b-c}{2}=2\\ a+b-c=4$ 
$r_{c}=\frac{\frac{ab}{2}}{\frac{a+b-c}{2}}=10\\ \frac{ab}{a+b-c}=10\\ a^2+b^2=c^2$

 Получаем систему уравнений 
 $\frac{ab}{a+b-c}=10\\ a^2+b^2=c^2\\ a+b-c=4\\\\ ab=10a+10b-10c\\ ab=40\\ c=8$
ответ  $8$