а)
Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис. Откуда CO - биссектриса ∠ACB; BO - биссектриса ∠ABC. Биссектриса делит угол пополам.
В ΔOBC: ∠POC - внешний, поэтому равен сумме двух внутренних углов треугольника не смежных с ним. ∠POC = ∠OBC+∠BCO.
∠PCA = ∠PBA, как вписанные углы опирающиеся на одну дугу AP.
∠PBA = ∠PBC, как углы при биссектрисе. Так же ∠ACO = ∠BCO.
В ΔPOC:
∠PCO = ∠PCA+∠ACO = ∠PBC+∠BCO;
∠POC = ∠OBC+∠BCO;
∠PCO = ∠POC ⇒ ΔPOC - равнобедренный (OC - основание) значит, PO=PC, что и требовалось доказать.
б)
Пусть PH⊥AC и H∈AC, тогда PH=21. ∠ABC=120°. T - центр описанной окружности около ΔABC.
Четырёхугольник PABC - вписан в окружность, поэтому ∠APC+∠ABC=180°;
∠APC = 180°-120° = 60°.
∠PCA = ∠PBA = ∠ABC:2 = 120°:2 = 60°
В ΔPCA: ∠PCA=60°; ∠APC =60°; ΔPCA - равнобедренный, с углом при основании в 60°, поэтому это равносторонний треугольник.
Радиус описанной около ΔABC равен радиусу описанной около ΔPCA т.к. это одна окружность.
PH - высота правильного ΔPCA, а значит и медиана.
Центр описанной окружности около правильного треугольника является центром треугольника, в том числе и центром тяжести (т. пересечения медиан). Поэтому радиус описанной равен 2/3 от высоты.
PT = 
PH = 21·2/3 = 14
ответ: 14.
АК = 18 см
Объяснение:
Смотри прикреплённый рисунок.
Дано:
ΔАВС: ∠С = 90°; ∠В = 60°; СК ⊥АВ; ВК = 6 см
Найти: АК
Решение.
В ΔСВК ∠ВСК = 90° - ∠В = 90° - 60° = 30°; ВК - катет, лежащий против угла в 30°, ВК = 0,5ВС = 6см ⇒ ВС = 2 · ВК = 2 · 6 = 12 (см)
В ΔАВС ∠А = 90° - ∠В = 90° - 60° = 30°; ВС - катет, лежащий против угла в 30°, ВС = 0,5АВ = 12см ⇒ АВ = 2 · ВС = 2 · 12 = 24 (см)
АК = АВ - ВК = 24см - 6см = 18см.