Question

Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении 7: 6, считая от вершины. найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна 48.

Answer 1

Обозначим точки пересечения с сторонами соответственных  биссектрис к $AB,BC$, $M,N$. 
По свойству биссектрис получаем    
$\frac{AM}{BC}=\frac{AC}{BC}\\$ 
заметим что  $AN$ будет так же биссектрисой треугольника  $AMC$.  
Получаем $\frac{AM}{AC}=\frac{6}{7}$
так как $AM+MC=48$
$AM=48-MB$ 
$\frac{48-MB}{MB}=\frac{AC}{BC}\\ \frac{48}{MB}-1=\frac{AC}{BC}$  
$\frac{AM}{AC}=\frac{6}{7}\\ \frac{48-BM}{AC}=\frac{6}{7}\\ 336-7BM=6AC\\ 6AC+7BM=336\\ AC=\frac{336-7BM}{6}\\ \frac{48}{BM}-1=\frac{\frac{336-7BM}{6}}{BC}\\\\ \frac{48}{BM}-1=\frac{336-7BM}{6BC}\\\\$ 
откуда получаем 
$7AM=6AC\\ 7BM=6BC$ 
суммируя 
$7(AM+BM)=6(AC+BC)\\ AM+BM=48\\\\ AC+BC=56\\ P=56+48=104$            
ответ $104$