Question

Диагонали ас и bd трапеции abcd пересекаются в точке к. площадь треугольника авк равна 24,а вк : кd =1: 4. найдите площадь трапеции

Answer 1

Я обозначу площадь трапеции Sabcd = S;
1) площади треугольников ABK и CDK равны.
В самом деле, если положить угол AKB = Ф, то
Sadk = AK*BK*sin(Ф)/2; Scdk = CK*DK*sin(Ф)/2; и BK/DK = CK/AK; то есть BK*AK = CK*DK; Поэтому площадь трапеции равна S = Sakd + Sbkc + 2*Sakb;
2) из вершины C проводится прямая CE II BD; точка E лежит на продолжении AD. Ясно, что DBCE - параллелограмм, и DE = BC; то есть AE = AD + BC;
Следовательно, площадь треугольника ACE равна площади трапеции ABCD, поскольку у них общая высота (расстояние от точки C до AD) и одинаковые средние линии. 
Sabcd = Sace = S;
3) треугольник ACE очевидно подобен треугольникам AKD и BKC; причем, если сравнивать соответствующие стороны, то 
BK/CE = 1/5; DK/CE = 4/5; (это так в условии ЗАДАНО :) )
Отсюда Sbkc = S*(1/25); Sakd = S*(16/25);
4) S = 2*24 + S*(1/25) + S*(16/25);
S = 150;

Answer 2

Трудная задачка. Тут надо представлять площади треугольников. Во-первых, площадь трапеции равна сумме площадей треугольников ABK, BKC,CKD и AKD.Площади треугольников ABK и DCK соотносятся как 4:1, угол BKA= углу DKC(вертик.), площадь треугольника равна половине произведения сторон треугольника, образующих угол на его синус, тогда площадь треугольника KCD равна 0,5*4x( 4x - этоKD, x - это BK)*KC*sinA, площадь треугольника AKB равна 0,5*x*AK*sinA, сократив дробь, мы получим AK=KC, пусть это y. Площадь треугольника AKD равна 0,5*y*4x*sinA(синусы смежных углов равны), 2xysinA, мы знаем, что площадь CKD равна 0,5*4x*y*sinA, то есть площади обоих треугольников равны 96. Теперь с теми двумя: площади их будут равны 0,5*x*y*sinA, площади обоих равны по 26. А теперь складываем их площади, получаем площадь трапеции: 26*2+96*2=2(26+96)=244