Высоты острого треугольника abc, проведенные из точек b и c, продолжили до пересечения с описанной окружностью в точках b1 и c1. оказалось, что отрезок b1c1 проходит через центр описанной окружности. найдите угол bac
Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами. На приложенном рисунке <CKB=(1/2)*(дугаBC+дугаAB1). Или 90°=(1/2)*(дугаBC+дугаAB1). Или 180°=дугаBC+дугаAB1. (1) <CMB=(1/2)*(дуга ВС+дугаАС1). Или 180°=дуга ВС+дугаАС1 (2). Но В1С1 - диаметр, значит сумма градусных мер дуг В1А и АС1 равна 180°. Просуммируем (1) и (2): 2*(дугаВС)+(дугаАВ1+дугаАС1)=360°. Или 2*(дугаВС)+180°=360°. Отсюда градусная мера дуги ВС=180°:2=90°. Следовательно, вписанный <ВАС, опирающийся на дугу ВС, равен 45°. ответ: <ВАС=45°.
Второй вариант: Так как треугольник ABC вписан в окружность, то углы BС1С и BAC равны как углы вписанные в окружность и опирающиеся на одну дугу. Так как отрезок B1С1 проходит через центр окружности, то B1C1-диаметр, тогда угол В1ВС1 прямой, так как опирается на диаметр. Если обозначить через К и М основания высот, а E - точка пересечения высот, то угол ВЕС1=90-BС1C. Угол ЕВМ=90-BEС1=BС1С, но <BC1C и <BAC равны, как вписанные, опирающиеся на одну дугу ВС. Тогда <BAC=<EBM и из прямоугольного треугольника ВКА имеем: 2*<BAC=90°. <BAC=45°. ответ: <BAC=45°.
Хорошо, сведем задачу к нахождению диагонали трапеции т.к. есть формула S= d^2/2 * sinA где d- диагональ, синус угла 60 у нас есть он равен 1/2* корень из 3. Диагонали в равнобедр. трапеции образуют собой равнобедр. треугольники AOD и BOC рассмотри треугольник ВОС: угол ВОС равен 180- 60= 120, тогда углы при основании равны по 30 (углы ОСВ и ОВС) далее возьмем прямоугольный треугольник АНС где АН- высота: угол АСН мы нашли он равен совпадающему углу ОСВ и равен 30 тогда угол НАС равен 180-90-30=60 АН=2 найдем сторону НС: по формуле НС = АН*tgА= 2* tg HAC= 2 * tg 60 = 2* корень из 3= 2 корня из 3 окей, далее найдем АС она же является диагональю трапеции: АС= НС/sin НАС= 2 корня из 3/ ( 1/2* корень из 3) = 4 готово, осталось посчитать: S = АС^2 /2 * sin 60= 8* корень из 3 /2 = 4 корня из 3 см в квадрате
На приложенном рисунке
<CKB=(1/2)*(дугаBC+дугаAB1).
Или 90°=(1/2)*(дугаBC+дугаAB1).
Или 180°=дугаBC+дугаAB1. (1)
<CMB=(1/2)*(дуга ВС+дугаАС1).
Или 180°=дуга ВС+дугаАС1 (2).
Но В1С1 - диаметр, значит сумма градусных мер дуг В1А и АС1
равна 180°.
Просуммируем (1) и (2):
2*(дугаВС)+(дугаАВ1+дугаАС1)=360°.
Или 2*(дугаВС)+180°=360°. Отсюда градусная мера дуги
ВС=180°:2=90°. Следовательно, вписанный <ВАС, опирающийся на дугу ВС, равен 45°.
ответ: <ВАС=45°.
Второй вариант:
Так как треугольник ABC вписан в окружность, то углы BС1С и BAC равны как углы вписанные в окружность и опирающиеся на одну дугу. Так как отрезок B1С1 проходит через центр окружности, то B1C1-диаметр, тогда угол В1ВС1 прямой, так как опирается на диаметр. Если обозначить через К и М основания высот, а E - точка пересечения высот, то угол ВЕС1=90-BС1C.
Угол ЕВМ=90-BEС1=BС1С, но <BC1C и <BAC равны, как вписанные, опирающиеся на одну дугу ВС.
Тогда <BAC=<EBM и из прямоугольного треугольника ВКА имеем: 2*<BAC=90°.
<BAC=45°.
ответ: <BAC=45°.