Дано:
a || b
c -секущая
Доказать:
биссектрисы односторонних углов перпендикулярны.
Доказательство.
АЕ - биссектриса угла А,
BD - биссектриса угла В.
АЕ пересекается с BD в точке О.
Известно, что сумма односторонних углов равна 180 градусов, тогда:
Угол А + Угол В = 180
Рассмотрим треугольники АОВ и АОD:
АЕ - биссектриса угла А,
BD - биссектриса угла В.
Угол А и Угол В односторонние =>
Угол ВАО + Угол АВО = 1/2 * (Угол А + Угол В )
Угол ВАО + Угол АВО = 90
Значит Угол АОВ = 180 - (Угол ВАО + Угол АВО) = 180 - 90 = 90
Аналогично и со вторым треугольником.
BD - секущая, a || b => Угол ОВЕ = Углу BDA - накрест лежащие !
Так как углы эти равны, то из равенства Угол ВАО + Угол АВО = 90 следует, что сумма угла А/2 + угол D = 90
Значит угол АОD = 90 =>
трегоьники равны по 3ему признаку равенства треугольников (по трем углам) => АЕ и BD перпендикулярны
Пусть дана трапеция АВСD, АВ = СD, диагональ ВD = 15 см, средняя линия - 12 см. Найдем Sтр.
1. Проведем высоты ВН и СК. Тогда ВНКС - прямоугольник, значит, НК = ВС и ВН = СК как противоположные стороны прямоугольника.
2. ΔАНВ = ΔDКС, т. к. АВ = СD (по условию), ВН = СК, т.е. прямоугольные треугольники АНВ и DKC равны по гипотенузе и катету. Следовательно, АН = КD.
3. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, т.е. (AD + BC)/2 = 12 см, откуда AD + BC = 24 cм. Но AD = АН + НК + КD = 2КD + BC, т.е. AD + BC = 2КD + 2ВС, откуда КD + ВС = НК + КD = НD = 24 : 2 = 12 (см).
4. Из прямоугольного ΔВНD по теореме Пифагора найдем высоту трапеции ВН: ВН² = BD² - HD² = 15² - 12² = 225 - 144 = 81 = 9², откуда ВН = 9 см.
5. Найдем теперь площадь трапеции как произведение средней линии и высоты, т.е. Sтр = (АD + ВС)/2 · ВН = 12 · 9 = 108 (см²).
ответ: 108 см².
АС = 2ОD = 8 *2 = 16