Question

Из точки м проведен перпендикуляр мв, равный 4 см, к плоскости прямоугольника abcd. наклонные ма и мс образуют с плоскостью прямоугольника углы 45 и 30 соответственно. а) докажите, что треугольники mad и mcd прямоугольные; б) найдите стороны прямоугольника; в) докажите, что треугольник bdc является проекцией треугольника mdc на плоскость прямоугольника, и найдите его площадь

Answer 1

Угол МАВ=45, угол МСВ=30. МВ=4.
Поскольку угол МАВ=45, то в прямоугольном ΔАМВ угол АМВ=180-90-45=45. Тогда этот треугольник равнобедренный и АВ=МВ=4.
МВ/ВС=tgМСВ. Отсюда АД=ВС=МВ/tg30=4√3.
Диагональ ВД=√(АВ² +ВС²)=√(16+48)=8. 
МД²=МВ²+ВД²=16+64=80.  АМ²=МВ²+ АВ²=16+16=32.
В ΔМАД:   АМ²+АД²=32+48=80, а это равно МД², что значит МД- гипотенуза прямоугольного ΔМАД.
МС²=МВ²+ВС²=16+48=64. 
Тогда в ΔМСД: МС²+ДС²=64+16=80,  а это тоже равно МД², и он также прямоугольный.
б) Стороны равны АВ=ДС=4.  АД=ВС=4√3.
в) ВD-проекция МD,ВС-проекция МС, значит ΔВСD-проекция ΔМСD 
Площадь ΔВДС  равна Sвдс=1/2*ВС*ДС=1/2*4√3*4=8√3