Question

А) у рівнобедреному трикутнику бісектриса кута при основі, меншого за 60*, ділить бічну сторону на відрізки 25 і 30 см. обчисліть довжину відрізків, на які ділить ця бісектриса висоту, опущену на основу. б) на висоті рівнобедреного трикутника,опущеній на основу,взято точку так,що вона ділить висоту на відрізки 25 і 7 см.обчисліть периметр трикутника, якщо ця точка рівно віддалена від кінців бічної сторони.

Answer 1

1)Воспользуемся свойством биссектрисы треугольника: биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.
Пусть дан треугольник АВС: АВ=ВС, АМ- биссектриса.
Тогда ВМ=25см, МС=30 см или ВМ=30 см, МС=25. Но в любом случае ВС=25+30=55 (см)
По свойству биссектрисы  АС: АВ= МС:ВМ
а)ВМ=25 см, МС=30 см, тогда АС:АВ=30/25, АС:АВ=6/5.
Обозначим АС=6х, АВ=5х
Но АВ=ВС, 5х=55, х=11, тогда АС=66.

сos A=cos C=33|55=3|5>cos 60⁰=0,5.
Угол А меньше 60⁰

Рассмотрим треугольник АВК ( ВК- высота ΔАВС):
По свойству биссектрисы угла А треугольника АВК:
АВ:АК=ВT:TK (T- точка пересечения биссектрисы угла А с высотой ВК)
АВ=55см, АК=33 см, тогда BT:TK=55:33 или биссектриса делит высоту в отношении 5:3.
б) ВМ=30 см, МС=25 см, тогда  АС:АВ=25/30, АС:АВ=5/6,
АС=5х, АВ=6х, АВ=ВС=55 см.   6х=55, х=55/6 . АС=275/6 АК=275/12
cos A= AK/АВ=275/(55*12)=5/12<0,5= cos 60⁰
значит угол А больше 60⁰ и этот случай не рассматриваем.

ответ 1) 5:3

2) Рассмотрим треугольник АВС: АВ=ВС. ВК- высота. ВT=25 см, ТК=7 см.
Точка Т - равноудалена от концов боковой стороны, то есть АТ=ВТ=25 см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник АТК: АТ=25 см, ТК=7 см. По теореме Пифагора найдем АК²=АТ²-ТК²=25²-7²=(25-7)(25+7)=18·32=24², АК=24 см
Тогда основание АС=2АК=48 см, высота ВК=25+7=32 (см)
По теореме Пифагора АВ²=АК²+ВК²=24²+32²=1600=40².
Боковая сторона треугольника 40 см, основание 48 см.
Периметр 40+40+48=128 см
ответ. Р=128 см.