Question

Найти все значения параметра а, при которых прямые 3х+2ау=1 и 3(а-1)х-ау=1 пересекаются в одной точке

Answer 1

Выразим y через x для каждой функции:
$y= \frac{1-3x}{2a}$
$y= \frac{3x(a-1)-1}{a}$

По условию сказано, что функции должны пересекаться в 1 точке. Т.к. это уравнения линейных функций (прямые), то они пересекутся максимум в 1 точке (в 2 и более точках не пересекутся ни при каких а и х).
$\frac{3x(a-1)-1}{a}= \frac{1-3x}{2a}$
$a(1-3x)=2a(3x(a-1)-1)$
$a-3ax=6a^{2}x-6ax-2a$
$x(6a^{2}-3a)=3a$
$x= \frac{3a}{3a(2a-1)} = \frac{1}{2a-1}$
$a \neq 0, 2a-1 \neq 0, a \neq 0.5$

Учтем условие, что прямые не должны быть параллельны, для этого у них не должны быть равны коэффициенты перед х:
$y=- \frac{3}{2a}x+ \frac{1}{2a}$
$y= \frac{3(a-1)}{a}x- \frac{1}{a}$

$\frac{3(a-1)}{a} \neq - \frac{3}{2a}$
$-3a\neq 6a(a-1)$
$-3a \neq 6a^{2}-6a$
$3a(2a-1) \neq 0$ - получили те же условия.

ответ: a∈(-бесконечность; 0)U(0; 0.5)U(0.5; +бесконечность)